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Physique-Chimie · Bac STM · Coefficient 5

Oscillations libres d'un circuit RLC série — Cours Physique Bac STM

Décharge d'un condensateur dans une bobine : équation différentielle du second ordre, trois régimes (pseudo-périodique, critique, apériodique), pseudo-période T₀ = 2π√(LC), décroissance de l'énergie par effet Joule.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 5 en Bac STM. Ce chapitre combine RC et RL en un oscillateur amorti. Le cas idéal LC ($R=0$) conduit à $y''+\omega_0^2 y=0$, l'équation de l'oscillateur harmonique — la même que celle du système masse-ressort étudié en mécanique et en Sciences de l'Ingénieur.

À l'épreuve

À partir d'un enregistrement de u_C(t) : identifier le régime, mesurer la pseudo-période T, la comparer à T₀ = 2π√(LC), commenter l'amortissement (rôle de R), suivre le transfert d'énergie électrique ↔ magnétique avec dissipation Joule.

Objectifs d'apprentissage

  • Établir l'équation différentielle du second ordre en u_C d'un RLC série libre
  • Distinguer les régimes pseudo-périodique, critique et apériodique selon R
  • Relier pseudo-période et période propre T₀ = 2π√(LC)
  • Exploiter la conservation puis la décroissance de l'énergie totale
  • Interpréter l'amortissement par l'effet Joule dans le résistor

Notions clés

Équation différentielle

LC d2uCdt2+RC duCdt+uC=0LC\,\dfrac{d^{2}u_C}{dt^{2}}+RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=0, soit d2uCdt2+RLduCdt+1LCuC=0\dfrac{d^{2}u_C}{dt^{2}}+\dfrac{R}{L}\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{LC}u_C=0.

Les trois régimes

Selon RR : pseudo-périodique (RR faible), critique (limite RcR_c, retour le plus rapide sans osciller), apériodique (RR grand). Amortissement faible : T≈T0=2πLCT\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}.

Énergie

E=12CuC 2+12Li 2\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}C u_C^{\,2}+\dfrac{1}{2}L i^{\,2} oscille et décroît (effet Joule dans RR). Seul le cas idéal LCLC (R=0R=0) conserve l'énergie.

Erreurs fréquentes

1

Parler de « période » alors que le régime est amorti : on dit pseudo-période.

2

Croire l'énergie totale constante avec R ≠ 0 : elle décroît.

3

Confondre régime critique et régime apériodique.

Exemple corrigé

Énoncé

Un circuit LC idéal a L=0,16 HL=0{,}16\ \text{H} et C=2,5 μFC=2{,}5\ \mu\text{F}. Calculer ω0\omega_0, T0T_0 et f0f_0.

Correction

Produit LC. LC=0,16×2,5×10−6=4,0×10−7 s2LC=0{,}16\times2{,}5\times10^{-6}=4{,}0\times10^{-7}\ \text{s}^{2}.
Pulsation propre. ω0=1LC=14,0×10−7≈1,6×103 rad/s\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{4{,}0\times10^{-7}}}\approx 1{,}6\times10^{3}\ \text{rad/s}.
Période propre. T0=2πLC=2π4,0×10−7≈4,0×10−3 s=4,0 msT_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{4{,}0\times10^{-7}}\approx 4{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=4{,}0\ \text{ms}.
Fréquence propre. f0=1T0≈2,5×102 Hzf_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 2{,}5\times10^{2}\ \text{Hz}.

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Exercice 1

Facile
Pour augmenter la période propre T0T_0 d'un circuit RLC, sur quelle(s) grandeur(s) agir : LL, CC ou RR ?
Voir la correction
T0=2πLCT_0=2\pi\sqrt{LC} : augmenter LL ou CC. RR n'agit que sur l'amortissement.

Exercice 2

Moyen
On compte 10 pseudo-oscillations en 16 ms16\ \text{ms}. C=1,0 μFC=1{,}0\ \mu\text{F}, amortissement faible (T≈T0T\approx T_0). Déterminer la pseudo-période puis LL.
Voir la correction
T=16×10−310=1,6×10−3 sT=\dfrac{16\times10^{-3}}{10}=1{,}6\times10^{-3}\ \text{s}. L=T0 24π2C=(1,6×10−3)24π2×1,0×10−6≈6,5×10−2 H=65 mHL=\dfrac{T_0^{\,2}}{4\pi^{2}C}=\dfrac{(1{,}6\times10^{-3})^{2}}{4\pi^{2}\times1{,}0\times10^{-6}}\approx 6{,}5\times10^{-2}\ \text{H}=65\ \text{mH}.

Exercice 3

Difficile
En régime pseudo-périodique, expliquer pourquoi les maxima successifs de ∣uC∣|u_C| décroissent et ce qu'il advient de l'énergie perdue.
Voir la correction
Aux instants où i=0i=0, toute l'énergie est électrique : E=12CuC2\mathcal{E}=\frac{1}{2}Cu_C^{2}. Or le résistor dissipe PJ=Ri2>0P_J=Ri^{2}>0 dès que i≠0i\neq 0, donc E\mathcal{E} décroît d'un maximum au suivant : ∣uC∣max⁡|u_C|_{\max} diminue. L'oscillation cesse quand toute l'énergie initiale 12CE2\frac{1}{2}CE^{2} a été convertie en chaleur.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre période propre T₀ et pseudo-période T ?

T₀ = 2π√(LC) est la période de l'oscillateur idéal (R = 0). Avec R ≠ 0, l'oscillation est amortie : T est légèrement supérieure à T₀, et pour un amortissement faible on prend T ≈ T₀.

Comment reconnaître le régime critique ?

C'est la valeur R_c qui sépare le régime pseudo-périodique (oscillations) du régime apériodique. Au régime critique, u_C revient à 0 le plus rapidement possible sans changer de signe.

L'énergie est-elle conservée dans un circuit RLC ?

Seulement dans le cas idéal LC (R = 0). Dès que R ≠ 0, l'énergie totale décroît, dissipée par effet Joule.

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