Systèmes mécaniques oscillants — Cours Physique Bac STM

Dans le programme du Bac STM

Coefficient 5 en Bac STM. Équivalent mécanique des oscillations électriques : même équation $\ddot x+\omega_0^{2}x=0$ qu'en Mathématiques (coefficient 7). Le système masse-ressort et ses régimes amortis sont réinvestis en Sciences de l'Ingénieur (suspensions, isolation vibratoire).

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle du mouvement, identifier ω₀, vérifier x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ), calculer T₀ et discuter ce dont elle dépend, interpréter un enregistrement amorti ou une courbe de résonance.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle d'un pendule élastique horizontal
Vérifier que x(t) = X_m·cos(ω₀t + φ) est solution et identifier ω₀ = √(k/m)
Donner la période propre du pendule simple aux petites oscillations
Énoncer l'isochronisme des petites oscillations
Distinguer oscillations libres, amorties (pseudo-période) et forcées (résonance)

Notions clés

Pendule élastique horizontal

m\ddot x=-k\,x

, soit

\ddot x+\dfrac{k}{m}\,x=0

. Solution :

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

Pendule simple

Aux petites oscillations (

\sin\theta\approx\theta

) :

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

. La période propre ne dépend pas de l'amplitude (isochronisme).

Amortissement et résonance

Avec frottements : régime pseudo-périodique (

T\gtrsim T_0

), critique, puis apériodique. Sous excitation périodique de fréquence

f

, l'amplitude est maximale quand

f\approx f_0

: résonance, d'autant plus aiguë que l'amortissement est faible.

Le système solide-ressort

Un solide de masse

m

fixé à un ressort de raideur

K

glisse sans frottement sur un plan horizontal. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe du ressort donne

m\ddot x = -Kx

, soit l'équation différentielle

\ddot x + \dfrac{K}{m}\,x = 0

. Sa solution est

x(t) = X_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)

, de période propre

T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{K}}

; l'amplitude

X_m

et la phase

\varphi

sont fixées par les conditions initiales. Exemple :

m = 200

g et

K = 20\ N\cdot m^{-1}

donnent

T_0 = 2\pi\sqrt{0{,}01} \approx 0{,}63

Erreurs fréquentes

Écrire T₀ = 2π√(k/m) : c'est 2π√(m/k).

Oublier l'approximation des petits angles pour le pendule simple.

Confondre période propre T₀ (oscillateur idéal) et pseudo-période T (oscillateur amorti).

Exemple corrigé

Énoncé

Un pendule élastique horizontal a

m=100\ \text{g}

k=25\ \text{N/m}

(frottements négligés). Calculer la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre.

Correction

Pulsation propre.

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{25}{0{,}100}}=\sqrt{250}\approx 15{,}8\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx \dfrac{2\pi}{15{,}8}\approx 0{,}40\ \text{s}

Fréquence propre.

f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 2{,}5\ \text{Hz}

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Physique-Chimie du Bac STM, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un pendule simple de longueur

L=0{,}60\ \text{m}

oscille avec une faible amplitude (

g=9{,}8\ \text{m/s}^2

). Calculer sa période propre.

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}60}{9{,}8}}\approx 1{,}6\ \text{s}

Exercice 2

Moyen

Par quel facteur faut-il multiplier la masse d'un pendule élastique pour tripler sa période propre (raideur inchangée) ?

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\propto\sqrt m

. Pour tripler

T_0

, il faut multiplier

\sqrt m

par 3, donc multiplier $m$ par 9.

Exercice 3

Difficile

Établir l'équation différentielle du pendule élastique horizontal et vérifier que

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

en est solution, avec

\omega_0=\sqrt{k/m}

Voir la correction

2ᵉ loi projetée sur l'axe du mouvement :

m\ddot x=-k\,x

. D'où

\ddot x+\dfrac{k}{m}\,x=0

. Avec

x=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

\ddot x=-\omega_0^{2}x

. En reportant :

-\omega_0^{2}x+\dfrac{k}{m}x=0

pour tout

t

, ce qui impose

\omega_0^{2}=\dfrac{k}{m}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

De quoi dépend la période propre d'un pendule élastique ?

Uniquement de la masse m et de la raideur k : T₀ = 2π√(m/k). Elle ne dépend pas de l'amplitude des oscillations (isochronisme).

Qu'est-ce que l'amortissement d'un oscillateur ?

La diminution progressive de l'amplitude due aux forces de frottement, qui dissipent l'énergie mécanique. Le régime est pseudo-périodique, critique ou apériodique selon leur intensité.

Quelle différence entre oscillations libres, forcées et résonance ?

Libres : le système oscille seul à sa fréquence propre f₀. Forcées : un dispositif impose sa fréquence f. Résonance : lorsque f ≈ f₀, l'amplitude des oscillations forcées devient maximale.