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Mathématiques · Bac STE · Coefficient 7

Géométrie dans l'espace — Cours Maths Bac STE

Le repère de l'espace : produit scalaire, équation d'un plan, distance d'un point à un plan, représentation d'une droite, sphère et positions relatives.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac STE

Coefficient 7 en Bac Sciences et Technologies Électriques, juste derrière les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 8). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. La géométrie dans l'espace remplace l'arithmétique et les structures algébriques des filières SM : c'est le chapitre non analytique du programme.

À l'épreuve

L'exercice de géométrie : équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal, distance point-plan, intersection d'une droite et d'un plan, étude d'une sphère (centre, rayon, plan tangent).

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé et tester l'orthogonalité
  • Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
  • Calculer la distance d'un point à un plan
  • Écrire une représentation paramétrique de droite et étudier une intersection droite/plan
  • Reconnaître l'équation d'une sphère et étudier ses positions relatives

Notions clés

Produit scalaire

u⃗(x,y,z)⋅v⃗(x′,y′,z′)=xx′+yy′+zz′\vec{u}(x,y,z)\cdot\vec{v}(x',y',z')=xx'+yy'+zz'. ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0.

Plan et distance

Plan par AA de normal n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c) : a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0. d(M,P)=∣axM+byM+czM+d∣a2+b2+c2d(M,P)=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Droite et sphère

Droite par AA de vecteur directeur u⃗\vec u : AM→=t u⃗\overrightarrow{AM}=t\,\vec u. Sphère de centre Ω(a,b,c)\Omega(a,b,c), rayon RR : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.

Le produit vectoriel

Dans un repère orthonormé direct, si u⃗(a,b,c)\vec u(a, b, c) et v⃗(a′,b′,c′)\vec v(a', b', c'), alors u⃗∧v⃗=(bc′−cb′ ; ca′−ac′ ; ab′−ba′)\vec u \wedge \vec v = (bc' - cb' \,;\, ca' - ac' \,;\, ab' - ba'). Ce vecteur est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, de norme ∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta ; il est nul si et seulement si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires. Applications : l'aire du triangle ABCABC vaut 12∥AB→∧AC→∥\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|, et AB→∧AC→\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC). Exemple : A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,1,0)B(0, 1, 0), C(0,0,1)C(0, 0, 1) donnent AB→∧AC→=(1,1,1)\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1, 1, 1), une aire de 32\dfrac{\sqrt 3}{2} et le plan x+y+z=1x + y + z = 1.

Erreurs fréquentes

1
Prendre le vecteur normal dans le mauvais sens en écrivant l'équation d'un plan.
2
Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance point-plan.
3
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
4
Oublier la racine (norme du vecteur normal) au dénominateur de la distance.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit PP le plan passant par A(1,0,−1)A(1,0,-1) de vecteur normal n⃗(2,−1,2)\vec n(2,-1,2). Donner une équation cartésienne de PP, puis la distance de O(0,0,0)O(0,0,0) à PP.

Correction

Équation. 2(x−1)−1(y−0)+2(z+1)=02(x-1)-1(y-0)+2(z+1)=0, soit 2x−y+2z=02x-y+2z=0.
Vérification. A(1,0,−1)A(1,0,-1) : 2(1)−0+2(−1)=02(1)-0+2(-1)=0 ✓.
Distance. d(O,P)=∣2(0)−0+2(0)∣22+(−1)2+22=03=0d(O,P)=\dfrac{|2(0)-0+2(0)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{0}{3}=0.
OO appartient donc au plan PP (le terme constant de l'équation est nul).

Le cours, puis l'entraînement.

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Exercice 1

Facile
Les vecteurs u⃗(3,−2,1)\vec u(3,-2,1) et v⃗(1,2,1)\vec v(1,2,1) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
u⃗⋅v⃗=3×1+(−2)×2+1×1=3−4+1=0\vec u\cdot\vec v=3\times 1+(-2)\times 2+1\times 1=3-4+1=0. Ils sont orthogonaux.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'équation de la sphère de centre Ω(1,−1,2)\Omega(1,-1,2) passant par A(3,0,2)A(3,0,2).
Voir la correction
R2=ΩA2=(3−1)2+(0+1)2+(2−2)2=4+1+0=5R^2=\Omega A^2=(3-1)^2+(0+1)^2+(2-2)^2=4+1+0=5, donc R=5R=\sqrt5. Équation : (x−1)2+(y+1)2+(z−2)2=5(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=5.

Exercice 3

Difficile
Déterminer l'intersection de la droite (D): (x,y,z)=(1+2t, −t, 2+t)(D):\ (x,y,z)=(1+2t,\ -t,\ 2+t) avec le plan P: x+y+z−6=0P:\ x+y+z-6=0.
Voir la correction
On remplace : (1+2t)+(−t)+(2+t)−6=0  ⟺  3+2t−6=0  ⟺  t=32(1+2t)+(-t)+(2+t)-6=0 \iff 3+2t-6=0 \iff t=\dfrac{3}{2}. Le point d'intersection est (1+3, −32, 2+32)=(4, −32, 72)\left(1+3,\ -\dfrac32,\ 2+\dfrac32\right)=\left(4,\ -\dfrac32,\ \dfrac72\right). Vérification : 4−32+72−6=04-\dfrac32+\dfrac72-6=0 ✓.

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'un plan ?

Il faut un point A du plan et un vecteur normal n⃗(a, b, c). L'équation est a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0.

À quoi sert la distance d'un point à un plan ?

À vérifier si un plan est tangent à une sphère (distance du centre = rayon), calculer un volume, ou trouver un projeté orthogonal.

Comment étudier l'intersection d'une droite et d'un plan ?

On injecte la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan : une valeur de t → un point (sécants) ; aucune valeur → parallèles ; identité → droite incluse dans le plan.

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