Oscillations libres d'un circuit RLC série — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur. Ce chapitre combine RC et RL en un oscillateur amorti et prépare le régime sinusoïdal forcé. Le cas idéal LC ($R=0$) conduit à $y''+\omega_0^2 y=0$, l'équation de l'oscillateur harmonique vue en Mathématiques (coefficient 9), dont la solution sinusoïdale doit être retrouvée proprement.

À l'épreuve

À partir d'un enregistrement de u_C(t) : identifier le régime, mesurer la pseudo-période T (sur plusieurs oscillations), la comparer à T₀ = 2π√(LC), commenter l'amortissement (rôle de R), et suivre le transfert d'énergie électrique ↔ magnétique avec dissipation Joule.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle du second ordre en u_C d'un RLC série libre
Distinguer les régimes pseudo-périodique, critique et apériodique selon R
Relier pseudo-période et période propre T₀ = 2π√(LC)
Exploiter la conservation (cas LC) puis la décroissance (cas RLC) de l'énergie totale
Interpréter l'amortissement par l'effet Joule dans le résistor

Notions clés

Équation différentielle

Loi des mailles (

u_C+u_R+u_L=0

) avec

i=C\dfrac{du_C}{dt}

LC\,\dfrac{d^{2}u_C}{dt^{2}}+RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=0

, soit

\dfrac{d^{2}u_C}{dt^{2}}+\dfrac{R}{L}\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{LC}u_C=0

Les trois régimes

Selon

R

: pseudo-périodique (

R

faible — oscillations amorties), critique (valeur limite

R_c

— retour le plus rapide sans oscillation), apériodique (

R

grand — retour lent sans oscillation). Pour un amortissement faible, la pseudo-période

T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}

Énergie

\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}C u_C^{\,2}+\dfrac{1}{2}L i^{\,2}

oscille entre forme électrique et magnétique et décroît globalement, l'énergie perdue étant dissipée par effet Joule dans

R

. Seul le cas idéal

LC

(

R=0

) conserve l'énergie totale.

Entretien des oscillations

Dans un circuit RLC réel, la résistance dissipe l'énergie par effet Joule : les oscillations libres s'amortissent. Pour obtenir des oscillations entretenues, on ajoute un générateur qui restitue à chaque instant l'énergie perdue ; il se comporte comme une résistance négative et délivre

u_g = R_0\,i

. La loi des mailles donne

L\dfrac{d^2q}{dt^2} + (R - R_0)\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0

. En réglant

R_0 = R

, on retrouve

\dfrac{d^2q}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}\,q = 0

: des oscillations sinusoïdales non amorties, de période propre

T_0 = 2\pi\sqrt{LC}

Erreurs fréquentes

Parler de « période » alors que le régime est amorti : on dit pseudo-période, et T est légèrement supérieure à T₀.

Croire l'énergie totale constante quand R ≠ 0 : elle décroît ; seule l'oscillation idéale LC la conserve.

Confondre régime critique et régime apériodique : aucun n'oscille, mais le critique est le retour le plus rapide.

Exemple corrigé

Énoncé

Un circuit LC idéal a

L=40\ \text{mH}

C=2{,}5\ \mu\text{F}

. Calculer la pulsation propre

\omega_0

, la période propre

T_0

et la fréquence propre

f_0

Correction

Produit LC.

LC=40\times10^{-3}\times2{,}5\times10^{-6}=1{,}0\times10^{-7}\ \text{s}^{2}

Pulsation propre.

\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{1{,}0\times10^{-7}}}\approx 3{,}2\times10^{3}\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{1{,}0\times10^{-7}}\approx 2{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=2{,}0\ \text{ms}

Fréquence propre.

f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 5{,}0\times10^{2}\ \text{Hz}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Pour augmenter la période propre

T_0

d'un circuit RLC, sur quelle(s) grandeur(s) agir :

L

C

R

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{LC}

: augmenter

L

C

augmente

T_0

R

n'agit que sur l'amortissement (et très peu sur

T

tant que celui-ci reste faible).

Exercice 2

Moyen

Sur un enregistrement, on compte 8 pseudo-oscillations en

12\ \text{ms}

. Le condensateur vaut

C=1{,}0\ \mu\text{F}

et l'amortissement est faible (

T\approx T_0

). Déterminer la pseudo-période puis

L

Voir la correction

T=\dfrac{12\times10^{-3}}{8}=1{,}5\times10^{-3}\ \text{s}

. De

T_0=2\pi\sqrt{LC}

L=\dfrac{T_0^{\,2}}{4\pi^{2}C}=\dfrac{(1{,}5\times10^{-3})^{2}}{4\pi^{2}\times1{,}0\times10^{-6}}\approx 5{,}7\times10^{-2}\ \text{H}=57\ \text{mH}

Exercice 3

Difficile

En régime pseudo-périodique, expliquer pourquoi les maxima successifs de

|u_C|

décroissent et ce qu'il advient de l'énergie perdue.

Voir la correction

Aux instants où

i=0

, toute l'énergie est électrique :

\mathcal{E}=\frac{1}{2}Cu_C^{2}

. Or le résistor dissipe

P_J=Ri^{2}>0

dès que

i\neq 0

, donc

\mathcal{E}

décroît d'un maximum au suivant :

|u_C|_{\max}

diminue à chaque pseudo-période. L'oscillation cesse quand toute l'énergie initiale

\frac{1}{2}CE^{2}

a été convertie en chaleur par effet Joule.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre période propre T₀ et pseudo-période T ?

T₀ = 2π√(LC) est la période de l'oscillateur idéal (R = 0). Avec R ≠ 0, l'oscillation est amortie : sa pseudo-période T est légèrement supérieure à T₀, et pour un amortissement faible on fait l'approximation T ≈ T₀.

Comment reconnaître le régime critique ?

C'est la valeur R_c qui sépare le régime pseudo-périodique (oscillations) du régime apériodique (aucune oscillation). Au régime critique, u_C revient à 0 le plus rapidement possible sans jamais changer de signe.

L'énergie est-elle conservée dans un circuit RLC ?

Seulement dans le cas idéal LC (R = 0), où elle passe alternativement de la forme électrique (condensateur) à la forme magnétique (bobine). Dès que R ≠ 0, l'énergie totale décroît, dissipée par effet Joule.