Mouvements plans — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Généralisation de la chute libre à deux dimensions : le vecteur accélération est constant ($\vec g$, ou $q\vec E/m$), et le mouvement se traite comme deux mouvements rectilignes indépendants. La projection vectorielle et l'obtention de y(x) par élimination du paramètre t s'appuient sur le cours de Mathématiques (coefficient 9).

À l'épreuve

Exercice en deux volets : (1) champ de pesanteur — établir les équations horaires, l'équation de la trajectoire y(x), la date au sommet, la flèche et la portée ; (2) champ électrique uniforme — même démarche avec a = qE/m, calcul de la déviation à la sortie des plaques d'un condensateur.

Objectifs d'apprentissage

Justifier l'indépendance des mouvements horizontal et vertical
Établir les équations horaires d'un projectile dans le champ de pesanteur
Obtenir l'équation de la trajectoire y(x) et reconnaître une parabole
Calculer la date au sommet, la flèche et la portée
Transposer la méthode à la déviation d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Notions clés

Indépendance des mouvements

L'accélération

\vec a=\vec g

est constante. Projetée :

a_x=0

(mouvement uniforme sur

x

) et

a_y=-g

(mouvement uniformément varié sur

y

). Les deux évoluent indépendamment, avec le même paramètre

t

Équations horaires et trajectoire

Lancé de

(0,h_0)

avec

\vec v_0

faisant l'angle

\alpha

avec l'horizontale :

x(t)=v_0\cos\alpha\,t

;

y(t)=h_0+v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

. En éliminant

t

y(x)=h_0+x\tan\alpha-\dfrac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}

— une parabole.

Sommet et champ électrique

Au sommet,

v_y=0

t_s=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}

; la flèche est

y(t_s)

. Dans un champ électrique uniforme

\vec E

, une charge

q

subit

\vec a=\dfrac{q\vec E}{m}

(constant) : mêmes équations, avec

\dfrac{qE}{m}

à la place de

g

Mouvement d'un solide sur un plan horizontal ou incliné

Un solide de masse

m

glisse sur un plan incliné d'un angle

\alpha

sur l'horizontale. Il subit son poids

\vec P

et la réaction

\vec R

du plan. Sans frottement, la deuxième loi de Newton projetée sur un axe parallèle à la pente (orienté vers le bas) donne

a = g\sin\alpha

: le mouvement est rectiligne uniformément varié ; sur l'axe normal,

R = mg\cos\alpha

. Avec une force de frottement constante

f

opposée au mouvement :

a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m}

. Sur un plan horizontal, un solide lancé qui glisse avec frottement décélère (

a = -\dfrac{f}{m}

) ; tiré par une force

\vec F

faisant un angle

\beta

avec l'horizontale, il vérifie

ma = F\cos\beta - f

. Exemple :

\alpha = 30°

sans frottement donne

a = 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}9\ m\cdot s^{-2}

Particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Une particule de charge

q

et de vitesse

\vec v

dans un champ magnétique uniforme

\vec B

subit la force de Lorentz

\vec F = q\,\vec v \wedge \vec B

. Cette force est perpendiculaire à

\vec v

: elle ne travaille pas, donc la norme de la vitesse reste constante (mouvement uniforme). Si

\vec v_0 \perp \vec B

, la trajectoire est un cercle dans le plan perpendiculaire à

\vec B

, de rayon

R = \dfrac{m\,v_0}{|q|\,B}

, parcouru avec la période

T = \dfrac{2\pi m}{|q|\,B}

, indépendante de la vitesse. Comme

R

dépend de la masse, le spectrographe de masse utilise ce mouvement pour séparer des isotopes.

Erreurs fréquentes

Coupler les deux axes : chaque coordonnée s'obtient de façon autonome, seul t est commun.

Oublier la composante verticale de la vitesse initiale v₀·sin α (fréquent quand α ≠ 0).

Confondre la flèche (hauteur maximale) et la portée (distance horizontale au retour à l'altitude de lancement).

Exemple corrigé

Énoncé

Un projectile est lancé de l'origine (

h_0=0

) avec

v_0=20\ \text{m/s}

\alpha=30^\circ

(

g=10\ \text{m/s}^2

). Déterminer les équations horaires, la date au sommet, la flèche et la portée.

Correction

Composantes initiales.

v_{0x}=v_0\cos 30^\circ=20\times\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 17{,}3\ \text{m/s}

;

v_{0y}=v_0\sin 30^\circ=10\ \text{m/s}

Équations horaires.

x(t)=17{,}3\,t

;

y(t)=10\,t-5\,t^{2}

Date au sommet.

v_y=10-10\,t=0\Rightarrow t_s=1{,}0\ \text{s}

Flèche.

y(1{,}0)=10-5=5{,}0\ \text{m}

Portée.

y=0\Rightarrow t(10-5t)=0\Rightarrow t=2{,}0\ \text{s}

, d'où

x=17{,}3\times2{,}0\approx 34{,}6\ \text{m}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

La composante horizontale de la vitesse d'un projectile est constante et vaut

v_{0x}=15\ \text{m/s}

. Quelle distance horizontale a-t-il parcourue au bout de

3{,}0\ \text{s}

Voir la correction

x=v_{0x}\,t=15\times3{,}0=45\ \text{m}

(mouvement uniforme sur l'axe horizontal).

Exercice 2

Moyen

Une bille quitte horizontalement une table de hauteur

h=1{,}25\ \text{m}

avec

v_0=4{,}0\ \text{m/s}

(

g=10\ \text{m/s}^2

). Calculer la durée de chute et la distance au pied de la table.

Voir la correction

Sur l'axe vertical :

h=\dfrac{1}{2}g\,t^{2}\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}}=0{,}50\ \text{s}

. Sur l'axe horizontal :

x=v_0\,t=4{,}0\times0{,}50=2{,}0\ \text{m}

Exercice 3

Difficile

Un projectile est lancé de l'origine avec une vitesse

\vec v_0

d'angle

\alpha

. Établir l'équation de sa trajectoire

y(x)

et montrer qu'il s'agit d'une parabole.

Voir la correction

x=v_0\cos\alpha\,t

on tire

t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}

. En reportant dans

y=v_0\sin\alpha\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

y=v_0\sin\alpha\cdot\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}-\dfrac{1}{2}g\cdot\dfrac{x^{2}}{v_0^{2}\cos^{2}\alpha}=x\tan\alpha-\dfrac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}

. C'est de la forme

y=ax^{2}+bx

avec

a<0

: une parabole tournée vers le bas.

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Questions fréquentes

Pourquoi les mouvements horizontal et vertical sont-ils indépendants ?

Parce que l'accélération n'a pas de composante horizontale (a_x = 0) : la vitesse horizontale reste constante quoi qu'il arrive sur l'axe vertical. Seul le paramètre temps relie les deux équations.

Quelle différence entre la flèche et la portée ?

La flèche est la hauteur maximale atteinte (au sommet, quand v_y = 0). La portée est la distance horizontale parcourue lorsque le projectile revient à son altitude de lancement.

Comment traite-t-on la déviation d'une charge dans un champ électrique ?

Exactement comme un projectile : l'accélération est constante et vaut a = qE/m au lieu de g. On écrit les équations horaires, l'équation de la trajectoire (parabole) et on calcule la déviation à la sortie des plaques.