Chute libre verticale d'un solide — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Cas particulier des lois de Newton où la force résultante est le seul poids : c'est le premier mouvement rectiligne uniformément varié étudié, et la base des mouvements plans qui suivent. L'intégration de a = g pour obtenir v(t) puis z(t) réinvestit le calcul de primitives du cours de Mathématiques (coefficient 9).

À l'épreuve

Établir a⃗ = g⃗ à partir de la 2ᵉ loi (seule force : le poids), en déduire par intégration les équations horaires avec les conditions initiales de l'énoncé, exploiter v² = v₀² + 2g·h pour une question sans le temps, et discuter l'influence (nulle, sans frottement) de la masse.

Objectifs d'apprentissage

Définir la chute libre et justifier a⃗ = g⃗
Établir par intégration les équations horaires v(t) et z(t)
Choisir un axe et écrire les conditions initiales de façon cohérente
Utiliser la relation v² = v₀² + 2g·h (sans le temps)
Justifier que la masse n'intervient pas dans le mouvement

Notions clés

Définition et accélération

Un solide est en chute libre quand la seule force qui s'exerce sur lui est son poids

\vec P=m\vec g

(frottements négligés). La 2ᵉ loi donne

m\vec g=m\vec a_G

, donc

\vec a_G=\vec g

: le mouvement est uniformément varié, indépendamment de la masse.

Équations horaires

Axe

(Oz)

vertical descendant, origine au point de lâcher :

a=g

;

v(t)=v_0+g\,t

;

z(t)=v_0\,t+\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

. Sans vitesse initiale :

v=g\,t

z=\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

Relation sans le temps

En éliminant

t

v^{2}=v_0^{2}+2g\,(z-z_0)

. Pour une chute d'une hauteur

h

sans vitesse initiale :

v=\sqrt{2g\,h}

Résolution approchée : la méthode d'Euler

Quand l'équation différentielle de la chute avec frottement

\dfrac{dv}{dt} = A - Bv^n

ne se résout pas simplement, on la résout pas à pas par la méthode d'Euler : on choisit un pas

\Delta t

petit devant le temps caractéristique, puis on répète

a_i = A - Bv_i^n

v_{i+1} = v_i + a_i\,\Delta t

. Exemple avec

A = 9{,}8\ m\cdot s^{-2}

B = 0{,}49\ s^{-1}

n = 1

v_0 = 0

\Delta t = 0{,}1

s :

a_0 = 9{,}8

donc

v_1 = 0{,}98\ m\cdot s^{-1}

;

a_1 = 9{,}8 - 0{,}49 \times 0{,}98 \approx 9{,}32

donc

v_2 \approx 1{,}91\ m\cdot s^{-1}

. Plus

\Delta t

est petit, plus la courbe obtenue est proche de la solution exacte.

Erreurs fréquentes

Garder une force de frottement : ce n'est alors plus une chute libre, et a ≠ g.

Mélanger les signes : si l'axe est orienté vers le haut, a = −g ; vers le bas, a = +g. Rester cohérent avec les conditions initiales.

Oublier v₀ quand le solide est lancé (vers le haut ou vers le bas) au lieu d'être simplement lâché.

Exemple corrigé

Énoncé

Une bille est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur

h=20\ \text{m}

(chute libre,

g=9{,}8\ \text{m/s}^2

). Déterminer la durée de la chute et la vitesse à l'arrivée au sol.

Correction

Équation de position. Axe descendant, origine au lâcher :

z(t)=\dfrac{1}{2}g\,t^{2}

Durée.

h=\dfrac{1}{2}g\,t^{2}\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{40}{9{,}8}}\approx 2{,}0\ \text{s}

Vitesse à l'arrivée.

v=g\,t=9{,}8\times2{,}0\approx 20\ \text{m/s}

(ou

v=\sqrt{2gh}=\sqrt{392}\approx 19{,}8\ \text{m/s}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un objet en chute libre est lâché sans vitesse initiale. Au bout de combien de temps sa vitesse atteint-elle

15\ \text{m/s}

? (

g=10\ \text{m/s}^2

)

Voir la correction

v=g\,t\Rightarrow t=\dfrac{v}{g}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\ \text{s}

Exercice 2

Moyen

Un projectile est lancé verticalement vers le haut avec

v_0=12\ \text{m/s}

(chute libre,

g=9{,}8\ \text{m/s}^2

). Calculer la hauteur maximale atteinte.

Voir la correction

Au sommet

v=0

. Avec

v^{2}=v_0^{2}-2g\,h_{max}

h_{max}=\dfrac{v_0^{2}}{2g}=\dfrac{12^{2}}{2\times9{,}8}=\dfrac{144}{19{,}6}\approx 7{,}3\ \text{m}

Exercice 3

Difficile

Une pierre est lâchée sans vitesse initiale du haut d'un pont ; on entend le choc dans l'eau

2{,}0\ \text{s}

plus tard (durée de propagation du son négligée,

g=9{,}8\ \text{m/s}^2

). Déterminer la hauteur du pont et la vitesse d'impact.

Voir la correction

h=\dfrac{1}{2}g\,t^{2}=\dfrac{1}{2}\times9{,}8\times(2{,}0)^{2}=19{,}6\ \text{m}

. Vitesse d'impact :

v=g\,t=9{,}8\times2{,}0=19{,}6\ \text{m/s}

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Questions fréquentes

La masse influence-t-elle la chute libre ?

Non. Comme m·g = m·a, la masse se simplifie : a = g pour tous les corps. Une bille de plomb et une bille de liège tombent à la même vitesse dans le vide. C'est la résistance de l'air (absente en chute libre) qui, dans la réalité, dépend de la forme et de la masse.

Qu'est-ce qui distingue chute libre et chute réelle ?

En chute libre, seul le poids agit : a = g reste constante. Dans une chute réelle, la résistance de l'air s'oppose au mouvement et augmente avec la vitesse, jusqu'à une vitesse limite où a = 0.

Comment choisir l'axe pour les équations horaires ?

Peu importe le choix, à condition de rester cohérent : axe vers le bas → a = +g ; axe vers le haut → a = −g. Les conditions initiales (position et vitesse) doivent être exprimées avec le même signe que l'axe choisi.