Mouvement des satellites et des planètes — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Application des lois de Newton à une force centrale : on y démontre que la vitesse d'un satellite ne dépend pas de sa masse et on retrouve la 3ᵉ loi de Kepler. Le raisonnement sur le vecteur accélération centripète $\vec a=\dfrac{v^{2}}{r}\,\vec u_n$ prépare l'étude du mouvement de rotation.

À l'épreuve

Établir l'égalité gravitation = force centripète $\dfrac{GmM}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}$, en déduire $v=\sqrt{GM/r}$ puis $T$ et la relation $T^{2}/r^{3}=4\pi^{2}/(GM)$, calculer l'altitude d'un satellite géostationnaire, ou déterminer la masse d'un astre central à partir de la période et du rayon orbital d'un de ses satellites.

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la loi de gravitation universelle F = G·m·M/r²
Établir que la gravitation joue le rôle de force centripète pour une orbite circulaire
Démontrer v = √(GM/r) et montrer qu'elle est indépendante de la masse du satellite
Établir la 3ᵉ loi de Kepler T²/r³ = 4π²/(GM)
Caractériser un satellite géostationnaire et calculer son altitude

Notions clés

Gravitation et force centripète

Loi de gravitation :

F=G\dfrac{mM}{r^{2}}

(

G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}

). Pour une orbite circulaire de rayon

r

, cette force est centripète :

G\dfrac{mM}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}

Vitesse et période

De l'égalité précédente :

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

— indépendante de la masse du satellite, décroissante avec

r

. Période :

T=\dfrac{2\pi r}{v}

, d'où

\boxed{\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}}

(3ᵉ loi de Kepler), constante pour tous les satellites d'un même astre.

Lois de Kepler et satellite géostationnaire

1ʳᵉ : orbites elliptiques, l'astre central à un foyer. 2ᵉ : loi des aires (le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales). 3ᵉ :

T^{2}/a^{3}=\text{cste}

. Un satellite géostationnaire a

T=23\ \text{h}\ 56\ \text{min}

, orbite dans le plan équatorial, dans le sens de rotation de la Terre : il paraît immobile depuis le sol.

Référentiels héliocentrique et géocentrique

Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil et trois axes dirigés vers des étoiles lointaines considérées comme fixes : on y étudie le mouvement des planètes. Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique : on y étudie la Lune et les satellites artificiels. Pour la durée de ces mouvements, les deux sont considérés comme galiléens, ce qui permet d'appliquer la deuxième loi de Newton. Un satellite géostationnaire est immobile par rapport au sol (référentiel terrestre, qui tourne avec la Terre), mais il décrit un cercle dans le référentiel géocentrique.

Erreurs fréquentes

Croire que la vitesse dépend de la masse du satellite : elle n'en dépend pas, seule la masse de l'astre central compte.

Confondre le rayon de l'orbite r (= R_astre + altitude h) et l'altitude h.

Se tromper dans la 3ᵉ loi : c'est T²/r³ (et non T/r² ou T³/r²) qui est constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un satellite décrit une orbite circulaire à l'altitude

h=3{,}6\times10^{4}\ \text{km}

autour de la Terre (

M=6{,}0\times10^{24}\ \text{kg}

R_T=6{,}4\times10^{3}\ \text{km}

G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}

). Calculer le rayon de l'orbite, la vitesse et la période. Conclure.

Correction

Rayon de l'orbite.

r=R_T+h=6{,}4\times10^{6}+3{,}6\times10^{7}=4{,}24\times10^{7}\ \text{m}

Vitesse.

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times6{,}0\times10^{24}}{4{,}24\times10^{7}}}\approx\sqrt{9{,}44\times10^{6}}\approx 3{,}1\times10^{3}\ \text{m/s}

Période.

T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\times4{,}24\times10^{7}}{3{,}1\times10^{3}}\approx 8{,}7\times10^{4}\ \text{s}\approx 24\ \text{h}

Conclusion.

T\approx 24\ \text{h}

et orbite équatoriale : c'est un satellite géostationnaire.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Exprimer la vitesse d'un satellite en orbite circulaire de rayon

r

autour d'un astre de masse

M

, et indiquer comment elle varie avec

r

Voir la correction

v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}

: elle décroît quand

r

augmente (en

1/\sqrt r

) et ne dépend pas de la masse du satellite.

Exercice 2

Moyen

La Lune décrit une orbite quasi circulaire de rayon

r=3{,}84\times10^{8}\ \text{m}

avec une période

T=27{,}3\ \text{jours}

. En déduire la masse de la Terre (

G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}

Voir la correction

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}\Rightarrow M=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,T^{2}}

. Avec

T=27{,}3\times86400\approx 2{,}36\times10^{6}\ \text{s}

M=\dfrac{4\pi^{2}\times(3{,}84\times10^{8})^{3}}{6{,}67\times10^{-11}\times(2{,}36\times10^{6})^{2}}\approx 6{,}0\times10^{24}\ \text{kg}

Exercice 3

Difficile

Établir la 3ᵉ loi de Kepler

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}

pour une orbite circulaire.

Voir la correction

L'égalité gravitation = force centripète donne

\dfrac{GmM}{r^{2}}=\dfrac{mv^{2}}{r}

, soit

v^{2}=\dfrac{GM}{r}

. Or le mouvement est circulaire uniforme :

v=\dfrac{2\pi r}{T}

, donc

v^{2}=\dfrac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}

. En égalant :

\dfrac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}=\dfrac{GM}{r}

, d'où

T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}

\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM}

, indépendante du satellite.

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Questions fréquentes

La vitesse d'un satellite dépend-elle de sa masse ?

Non. Dans l'égalité GmM/r² = mv²/r, la masse m du satellite se simplifie : v = √(GM/r) ne dépend que de la masse M de l'astre central et du rayon r de l'orbite.

Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ?

Un satellite dont la période orbitale est égale à la période de rotation de la Terre (≈ 23 h 56 min), qui orbite dans le plan équatorial et dans le sens de rotation terrestre. Il reste donc à la verticale d'un même point du sol — d'où son usage pour les télécommunications.

Qu'énoncent les trois lois de Kepler ?

1ʳᵉ : les orbites sont des ellipses dont l'astre central occupe un foyer. 2ᵉ : le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des durées égales (loi des aires). 3ᵉ : le rapport T²/a³ est le même pour tous les astres orbitant autour du même centre.