Décroissance radioactive — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB. Ce chapitre est l'application physique directe de la fonction exponentielle et du logarithme népérien étudiés en Mathématiques (coefficient 9) : la résolution de l'équation différentielle dN/dt = −λN et l'usage de ln pour inverser une exponentielle y sont attendus sans approximation.

À l'épreuve

Exercice type : établir N(t) = N₀·e^(−λt) à partir de dN/dt = −λN, relier λ et t₁/₂ (t₁/₂ = ln2/λ), calculer une activité a = λ·N, exploiter a/a₀ = (1/2)^(t/t₁/₂) pour une datation, et équilibrer une équation de désintégration par les lois de Soddy (conservation de A et de Z).

Objectifs d'apprentissage

Résoudre dN/dt = −λN et retrouver N(t) = N₀·e^(−λt)
Relier constante radioactive et demi-vie : t₁/₂ = ln2/λ
Définir l'activité a = −dN/dt = λ·N et donner son unité (becquerel)
Équilibrer une équation de désintégration α, β⁻, β⁺ avec les lois de Soddy
Exploiter la décroissance pour dater un échantillon (a/a₀ ou N/N₀)

Notions clés

Loi de décroissance

Le nombre de désintégrations par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux présents :

\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N

. D'où

N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}

, où

\lambda

(en

\text{s}^{-1}

) est la constante radioactive, caractéristique du noyau.

Demi-vie et activité

Demi-vie : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée.

N(t_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}\Rightarrow t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

. Activité :

a=-\dfrac{dN}{dt}=\lambda N=a_0\,e^{-\lambda t}

, en becquerels (1 Bq = 1 désintégration par seconde).

t_{1/2}

ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'état chimique.

Lois de Soddy et types de désintégration

Dans toute désintégration, le nombre de masse $A$ et le nombre de charge $Z$ se conservent.

\alpha

: émission de

^{4}_{2}\text{He}

\beta^{-}

^{0}_{-1}e

(

n\to p

\beta^{+}

^{0}_{+1}e

(

p\to n

). Le noyau fils, souvent excité, se désexcite en émettant un rayonnement

\gamma

Composition du noyau, isotopes et diagramme (N,Z)

Un noyau

{}^{A}_{Z}X

contient

Z

protons et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

(même élément) mais des nombres de neutrons différents :

{}^{12}_{6}C

{}^{14}_{6}C

, ou

{}^{235}_{92}U

{}^{238}_{92}U

. Le diagramme (N,Z) (diagramme de Segrè) place chaque noyau selon son nombre de protons et de neutrons : les noyaux stables forment la vallée de stabilité, proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Un noyau situé au-dessus de la vallée (excès de neutrons) est en général émetteur

\beta^-

, un noyau situé en dessous émetteur

\beta^+

, et les noyaux très lourds (

A > 200

) sont souvent émetteurs

\alpha

Erreurs fréquentes

Confondre la constante radioactive λ (en s⁻¹) avec une longueur d'onde : ici λ n'a rien d'une onde.

Croire que la demi-vie dépend des conditions physico-chimiques : elle est constante pour un noyau donné.

Confondre l'activité (en Bq, un débit de désintégrations) et le nombre de noyaux N (sans unité).

Exemple corrigé

Énoncé

Un échantillon contient à

t=0

N_0=2{,}0\times10^{20}

noyaux d'iode 131, de demi-vie

t_{1/2}=8{,}0\ \text{jours}

. Calculer la constante radioactive

\lambda

, l'activité initiale

a_0

, puis le nombre de noyaux restants après

24

jours.

Correction

Constante radioactive.

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{8{,}0\times24\times3600}=\dfrac{0{,}693}{6{,}912\times10^{5}}\approx 1{,}0\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}

Activité initiale.

a_0=\lambda N_0=1{,}0\times10^{-6}\times2{,}0\times10^{20}=2{,}0\times10^{14}\ \text{Bq}

Après 24 jours.

24\ \text{j}=3\,t_{1/2}

, donc

N=\dfrac{N_0}{2^{3}}=\dfrac{2{,}0\times10^{20}}{8}=2{,}5\times10^{19}\ \text{noyaux}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un noyau a une demi-vie

t_{1/2}=5{,}0\ \text{ans}

. Quelle fraction de l'échantillon initial subsiste après

15\ \text{ans}

Voir la correction

15\ \text{ans}=3\,t_{1/2}

, donc

\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}=12{,}5\ \%

Exercice 2

Moyen

Le carbone 14 a une demi-vie

t_{1/2}=5730\ \text{ans}

. Un échantillon de bois ancien a une activité égale à

25\ \%

de celle du bois vivant. Estimer son âge.

Voir la correction

\dfrac{a}{a_0}=\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}

, donc

t=2\,t_{1/2}=2\times5730=1{,}15\times10^{4}\ \text{ans}

Exercice 3

Difficile

Le radium

^{226}_{88}\text{Ra}

se désintègre par émission

\alpha

. Écrire l'équation de la désintégration et identifier le noyau fils

\text{X}

Voir la correction

^{226}_{88}\text{Ra}\longrightarrow\ ^{4}_{2}\text{He}+\ ^{A}_{Z}\text{X}

. Conservation :

A=226-4=222

Z=88-2=86

. Le noyau fils est le radon

^{222}_{86}\text{Rn}

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Questions fréquentes

La demi-vie dépend-elle de la température ou de la pression ?

Non. La désintégration est un phénomène nucléaire : la demi-vie d'un noyau donné est une constante, insensible à la température, à la pression, au champ électrique ou à l'état chimique de l'atome.

Quelle relation entre λ et la demi-vie t₁/₂ ?

t₁/₂ = ln2 / λ. Une grande constante radioactive λ correspond à une désintégration rapide, donc à une demi-vie courte ; les deux grandeurs sont inversement proportionnelles.

Qu'est-ce que l'activité et dans quelle unité l'exprime-t-on ?

L'activité a = λ·N est le nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon. Elle s'exprime en becquerels (Bq) : 1 Bq = 1 désintégration par seconde. Elle décroît selon la même loi exponentielle que N.