Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé — Cours Physique Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 7 en Bac SMB, à égalité avec les Sciences de l'Ingénieur (sélectivité d'un filtre, accord d'un récepteur). Ce chapitre prolonge les oscillations libres : au lieu de laisser le circuit osciller seul, on l'entretient par un GBF. La résonance et sa finesse (facteur de qualité) sont les notions centrales.

À l'épreuve

À partir de mesures d'amplitude et de déphasage en fonction de la fréquence : établir Z, identifier la résonance (Lω₀ = 1/(Cω₀)), calculer I_m,max = U_m/R, le facteur de qualité Q = Lω₀/R et la bande passante Δf = f₀/Q, puis interpréter la surtension aux bornes de L et de C.

Objectifs d'apprentissage

Calculer l'impédance Z d'un RLC série et le déphasage φ entre u et i
Déterminer la pulsation de résonance ω₀ = 1/√(LC)
Établir qu'à la résonance Z = R et que u, i sont en phase (φ = 0)
Calculer le facteur de qualité Q et la bande passante Δf = f₀/Q
Interpréter la surtension U_C,m = Q·U_m aux bornes du condensateur à la résonance

Notions clés

Impédance et déphasage

À la pulsation

\omega

, l'amplitude de l'intensité est

I_m=\dfrac{U_m}{Z}

avec

Z=\sqrt{R^{2}+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^{2}}

. Le déphasage

\varphi

u

par rapport à

i

vérifie

\tan\varphi=\dfrac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R}

Résonance d'intensité

I_m

est maximale quand

Z

est minimale, soit

L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}

, d'où

\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}

(pulsation propre). Alors

Z=R

I_{m,\max}=\dfrac{U_m}{R}

u

i

sont en phase (

\varphi=0

Facteur de qualité et bande passante

Q=\dfrac{L\omega_0}{R}=\dfrac{1}{RC\omega_0}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}

. La bande passante (

I_m\ge\frac{I_{m,\max}}{\sqrt2}

) a pour largeur

\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}

. Grand

Q

(petit

R

) = résonance aiguë, circuit sélectif ; surtension

U_{C,m}=Q\,U_m

Puissance moyenne et facteur de puissance

La puissance électrique moyenne consommée par le dipôle RLC est

P = U\,I\cos\varphi

, où

U

I

sont les valeurs efficaces et

\varphi

le déphasage entre la tension et l'intensité ;

\cos\varphi

est le facteur de puissance. Comme

\cos\varphi = \dfrac{R}{Z}

, on a aussi

P = R\,I^2

: en moyenne, seule la résistance consomme de l'énergie, la bobine et le condensateur ne font que l'échanger. La puissance est maximale à la résonance, où

\cos\varphi = 1

. Exemple :

U = 10

I = 0{,}2

A et

\varphi = 60°

donnent

P = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}5 = 1

Le régime sinusoïdal forcé

Un générateur basse fréquence impose au circuit RLC série une tension

u(t) = U_m\cos(\omega t)

. Après un bref régime transitoire, l'intensité oscille à la pulsation du générateur

\omega

(et non à la pulsation propre

\omega_0

) : le générateur est l'excitateur, le circuit le résonateur, et les oscillations sont dites forcées. On a

i(t) = I_m\cos(\omega t - \varphi)

, avec

I_m = \dfrac{U_m}{Z}

et l'impédance

Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}

. L'amplitude de l'intensité dépend de la fréquence et passe par un maximum à la résonance, pour

\omega = \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}

Erreurs fréquentes

Oublier le carré dans Z : c'est √(R² + (…)²), pas R + (Lω − 1/(Cω)).

Confondre pulsation ω (rad/s) et fréquence f (Hz) : ω = 2πf.

Croire qu'à la résonance la tension aux bornes de L ou de C est faible : elle vaut Q·U_m, souvent bien supérieure à U_m (surtension).

Exemple corrigé

Énoncé

Un RLC série

R=15\ \Omega

L=0{,}10\ \text{H}

C=1{,}0\ \mu\text{F}

est alimenté par un GBF d'amplitude

U_m=3{,}0\ \text{V}

. Calculer la fréquence de résonance

f_0

, l'intensité maximale à la résonance et le facteur de qualité

Q

Correction

Fréquence de résonance.

f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0{,}10\times1{,}0\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{1{,}0\times10^{-7}}}\approx 5{,}0\times10^{2}\ \text{Hz}

Intensité à la résonance.

Z=R

, donc

I_m=\dfrac{U_m}{R}=\dfrac{3{,}0}{15}=0{,}20\ \text{A}

Facteur de qualité.

\omega_0=2\pi f_0\approx 3{,}16\times10^{3}\ \text{rad/s}

, donc

Q=\dfrac{L\omega_0}{R}=\dfrac{0{,}10\times3{,}16\times10^{3}}{15}\approx 21

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

À la résonance d'un RLC série, quel est le déphasage entre la tension du générateur et l'intensité ?

Voir la correction

L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}

, donc

\tan\varphi=0

Z=R

: la tension et l'intensité sont en phase,

\varphi=0

Exercice 2

Moyen

Un RLC a

f_0=1{,}0\ \text{kHz}

Q=25

. Calculer la largeur de la bande passante

\Delta f

et les fréquences de coupure.

Voir la correction

\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}=\dfrac{1000}{25}=40\ \text{Hz}

. Les fréquences de coupure encadrent

f_0

f_1\approx f_0-\dfrac{\Delta f}{2}=980\ \text{Hz}

f_2\approx f_0+\dfrac{\Delta f}{2}=1020\ \text{Hz}

Exercice 3

Difficile

Montrer qu'à la résonance

Z

est minimale et vaut

R

, puis calculer la surtension aux bornes du condensateur pour

Q=21

U_m=3{,}0\ \text{V}

Voir la correction

Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}}

avec

X=L\omega-\dfrac{1}{C\omega}

Z

est minimale quand

X=0

, soit

L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}

, alors

Z=R

. Amplitude aux bornes de

C

U_{C,m}=\dfrac{I_m}{C\omega_0}=\dfrac{U_m}{RC\omega_0}=Q\,U_m=21\times3{,}0=63\ \text{V}\gg U_m

: c'est la surtension.

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Questions fréquentes

Résonance d'intensité et pulsation propre, est-ce la même ω₀ ?

Oui : la résonance d'intensité a lieu à ω₀ = 1/√(LC), exactement la pulsation propre du circuit LC. On retrouve donc T₀ = 2π√(LC) du chapitre sur les oscillations libres.

À quoi sert le facteur de qualité Q ?

Il mesure l'acuité de la résonance : Δf = f₀/Q. Un Q élevé (R petit) donne une résonance étroite et sélective — le principe de l'accord d'un récepteur radio. Il quantifie aussi la surtension Q·U_m aux bornes de L et de C.

Comment calculer l'impédance Z ?

Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), avec ω = 2πf. Le terme Lω − 1/(Cω) est la réactance : positive au-dessus de la résonance (comportement inductif), négative en dessous (capacitif), nulle à la résonance.