Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie (coefficient 7) et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Souvent traitée juste après le logarithme, l'exponentielle apparaît dans l'autre problème d'analyse et dans les équations différentielles (y′ = ay ⇒ y = Ceᵃˣ).

À l'épreuve

Étude d'une fonction du type x ↦ (x + 1)eˣ ou x ↦ x − eˣ + 1 : limites avec croissances comparées, dérivée, tableau, tangente, tracé ; résolution d'une équation eᵃˣ + … = 0 par le changement X = eˣ ; démonstration d'une inégalité par convexité.

Objectifs d'apprentissage

Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, ln(eˣ) = x, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
Résoudre une équation exponentielle par le changement de variable X = eˣ (X > 0)
Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
Démontrer une inégalité (eˣ ≥ 1 + x) par étude de signe ou convexité

Notions clés

Définition et propriétés

\exp

est la réciproque de

\ln

e^{\ln a}=a

(

a>0

\ln(e^x)=x

e^{a+b}=e^a e^b

e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}

(e^a)^n=e^{na}

e^0=1

e^1=e

Variation et limites

\exp

est strictement croissante et

>0

sur

\mathbb{R}

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+

Croissances comparées

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

(et

\dfrac{e^x}{x^n}\to+\infty

) ;

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0

;

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1

Dérivée et convexité

(e^x)'=e^x

(e^{u})'=u'e^{u}

\exp

est convexe : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, d'où

e^x\ge 1+x

pour tout

x

(tangente en

0

Erreurs fréquentes

Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant une équation par changement de variable.

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ : faux ; c'est le produit.

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme indéterminée non levée.

Dériver e^(u) en e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans

\mathbb{R}

e^{2x}-5e^{x}+6=0

Correction

On pose

X=e^{x}

, avec

X>0

. L'équation devient

X^2-5X+6=0

Discriminant :

25-24=1

, racines

X=\dfrac{5\pm 1}{2}

, soit

X=2

X=3

(toutes deux

>0

e^{x}=2 \iff x=\ln 2

;

e^{x}=3 \iff x=\ln 3

S=\{\ln 2,\ \ln 3\}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Résoudre dans

\mathbb{R}

e^{x+1}=\dfrac{1}{e^{2}}

Voir la correction

\dfrac{1}{e^2}=e^{-2}

, donc

e^{x+1}=e^{-2}

. Par stricte croissance de

\exp

x+1=-2

, soit

x=-3

Exercice 2

Moyen

Calculer

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{2}}

Voir la correction

Par croissance comparée,

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0

(forme

-\infty\times 0^+

levée). Toujours par croissance comparée,

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{2}}=+\infty

Exercice 3

Difficile

Montrer que pour tout

x\ge 0

e^{x}\ge 1+x+\dfrac{x^{2}}{2}

Voir la correction

Posons

g(x)=e^{x}-1-x-\dfrac{x^2}{2}

g(0)=0

g'(x)=e^{x}-1-x

g'(0)=0

g''(x)=e^{x}-1\ge 0

pour

x\ge 0

, donc

g'

est croissante sur

[0,+\infty[

g'(x)\ge g'(0)=0

. Donc

g

est croissante et

g(x)\ge g(0)=0

, c'est-à-dire

e^{x}\ge 1+x+\dfrac{x^2}{2}

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (avec X > 0), on résout l'équation en X, puis on revient à x par x = ln X pour chaque solution positive.

Pourquoi eˣ ≥ 1 + x ?

La fonction exp est convexe : sa courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes. La tangente en 0 a pour équation y = 1 + x, d'où l'inégalité, valable pour tout réel x.

exp et ln, quelle relation à l'examen ?

Ce sont des fonctions réciproques. On passe de l'une à l'autre pour résoudre équations et inéquations, et pour transformer une expression (a^x = e^(x ln a)).