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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Espaces vectoriels — Cours Maths Bac SMB

Structure d'espace vectoriel, critère de sous-espace, familles libres et génératrices, bases et dimension, puis somme et intersection de sous-espaces.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 7 chacune). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Troisième chapitre exclusif aux filières SM (avec l'arithmétique et les structures algébriques). Il travaille surtout dans ℝ², ℝ³ et des ensembles de suites, de fonctions ou de polynômes.

À l'épreuve

Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel via le critère, en exhiber une base et donner la dimension ; établir qu'une famille est libre / génératrice / une base (souvent par un système homogène) ; calculer dim(F + G) avec la formule de Grassmann.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser le critère de sous-espace vectoriel : partie non vide contenant 0 et stable par combinaison linéaire
  • Décider si une famille est libre (système homogène ⇒ solution nulle unique)
  • Décider si une famille est génératrice, et si c'est une base
  • Déterminer la dimension d'un sous-espace
  • Calculer F ∩ G, F + G et appliquer dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G)

Notions clés

Sous-espace vectoriel (critère)

F⊂EF\subset E est un sous-espace vectoriel si : F≠∅F\neq\varnothing (on montre 0E∈F0_E\in F) et ∀u,v∈F, ∀λ,μ∈R, λu+μv∈F\forall u,v\in F,\ \forall\lambda,\mu\in\mathbb{R},\ \lambda u+\mu v\in F.

Famille libre / génératrice / base

(v1,…,vp)(v_1,\dots,v_p) est libre si λ1v1+⋯+λpvp=0⇒λ1=⋯=λp=0\lambda_1v_1+\dots+\lambda_pv_p=0 \Rightarrow \lambda_1=\dots=\lambda_p=0. Génératrice de FF si tout vecteur de FF en est une combinaison linéaire. Base = libre et génératrice.

Dimension

Toutes les bases d'un même espace ont le même nombre d'éléments : c'est la dimension. Dans un espace de dimension nn, toute famille libre de nn vecteurs est une base ; toute famille de plus de nn vecteurs est liée.

Somme et intersection

F∩GF\cap G et F+G={u+v : u∈F, v∈G}F+G=\{u+v\,:\,u\in F,\,v\in G\} sont des sous-espaces. Formule de Grassmann : dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G−dim⁡(F∩G)\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G). La somme est directe (F⊕GF\oplus G) si F∩G={0}F\cap G=\{0\}.

Erreurs fréquentes

1

Oublier de vérifier que 0 appartient à F (un ensemble défini par « x + y = 1 » n'est pas un sev).

2

Confondre « libre » et « génératrice » : une base est les deux à la fois.

3

Conclure qu'une famille de 3 vecteurs de ℝ³ est une base sans vérifier qu'elle est libre.

4

Appliquer dim(F + G) = dim F + dim G sans retrancher dim(F ∩ G).

Exemple corrigé

Énoncé

Soit F={(x,y,z)∈R3 : x+y−z=0}F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\,:\,x+y-z=0\}. Montrer que FF est un sous-espace vectoriel de R3\mathbb{R}^{3}, en donner une base et la dimension.

Correction

0∈F0\in F : 0+0−0=00+0-0=0, donc F≠∅F\neq\varnothing.
Stabilité. Si u=(x,y,z)u=(x,y,z) et v=(x′,y′,z′)v=(x',y',z') sont dans FF et λ,μ∈R\lambda,\mu\in\mathbb{R}, alors pour w=λu+μv=(λx+μx′, λy+μy′, λz+μz′)w=\lambda u+\mu v=(\lambda x+\mu x',\ \lambda y+\mu y',\ \lambda z+\mu z') : (λx+μx′)+(λy+μy′)−(λz+μz′)=λ(x+y−z)+μ(x′+y′−z′)=0(\lambda x+\mu x')+(\lambda y+\mu y')-(\lambda z+\mu z')=\lambda(x+y-z)+\mu(x'+y'-z')=0. Donc w∈Fw\in F : FF est un sous-espace vectoriel.
Base. z=x+yz=x+y, donc (x,y,z)=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)(x,y,z)=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1). La famille ((1,0,1),(0,1,1))\big((1,0,1),(0,1,1)\big) engendre FF.
Elle est libre (les deux vecteurs ne sont pas colinéaires). C'est donc une base de FF, et dim⁡F=2\dim F=2 (FF est un plan passant par l'origine).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
L'ensemble G={(x,y)∈R2 : x+y=1}G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\,:\,x+y=1\} est-il un sous-espace vectoriel de R2\mathbb{R}^{2} ?
Voir la correction
Non : (0,0)∉G(0,0)\notin G car 0+0=0≠10+0=0\neq 1. Un sous-espace vectoriel doit contenir le vecteur nul.

Exercice 2

Moyen
Montrer que B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))B=\big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\big) est une base de R3\mathbb{R}^{3}.
Voir la correction
Liberté : a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(0,0,0)a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(0,0,0) donne a+c=0a+c=0, a+b=0a+b=0, b+c=0b+c=0. Donc c=−ac=-a, b=−ab=-a, puis b+c=−2a=0b+c=-2a=0, soit a=0a=0 puis b=c=0b=c=0 : la famille est libre. Trois vecteurs libres dans R3\mathbb{R}^{3} (dimension 33) forment une base.

Exercice 3

Difficile
Soient F=Vect{(1,0,1),(0,1,1)}F=\mathrm{Vect}\big\{(1,0,1),(0,1,1)\big\} et G=Vect{(1,1,0)}G=\mathrm{Vect}\big\{(1,1,0)\big\}. Déterminer dim⁡F\dim F, dim⁡G\dim G, F∩GF\cap G et F+GF+G.
Voir la correction
dim⁡F=2\dim F=2 (famille libre), dim⁡G=1\dim G=1. Un vecteur de FF s'écrit (a,b,a+b)(a,b,a+b) ; il est dans GG ssi (a,b,a+b)=t(1,1,0)(a,b,a+b)=t(1,1,0), soit a=ta=t, b=tb=t, a+b=0a+b=0, d'où 2t=02t=0 et t=0t=0. Donc F∩G={0}F\cap G=\{0\}, dim⁡(F∩G)=0\dim(F\cap G)=0. Par Grassmann, dim⁡(F+G)=2+1−0=3=dim⁡R3\dim(F+G)=2+1-0=3=\dim\mathbb{R}^{3}, donc F+G=R3F+G=\mathbb{R}^{3} et la somme est directe : F⊕G=R3F\oplus G=\mathbb{R}^{3}.

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Questions fréquentes

Comment prouver qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

On montre qu'il est non vide (il contient le vecteur nul) et qu'il est stable par combinaison linéaire : pour tous u, v de F et tous scalaires λ, μ, le vecteur λu + μv reste dans F.

Comment montrer qu'une famille est une base ?

On montre qu'elle est libre (le système de combinaison linéaire nulle n'a que la solution nulle) et génératrice. En dimension n connue, une famille libre de n vecteurs est automatiquement une base.

Que dit la formule de Grassmann ?

dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G). Si F ∩ G = {0}, la somme est directe et dim(F ⊕ G) = dim F + dim G.

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