Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac SMB

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie (coefficient 7) et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet où le dénombrement sert de base au calcul des probabilités.

À l'épreuve

Un exercice type urne ou tirage : dénombrer les issues (combinaisons), calculer des probabilités d'événements, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales, définir une variable aléatoire X, donner sa loi et son espérance ; parfois une expérience répétée modélisée par une loi binomiale.

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer avec le principe multiplicatif : p-listes nᵖ, arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), l'indépendance, la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X) et V(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Tirages ordonnés avec remise :

n^{p}

. Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

. Permutations :

n!

Probabilité conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

(

P(B)\neq 0

A

B

indépendants

\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)

Probabilités totales et Bayes

(B_1,\dots,B_n)

est un système complet d'événements :

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Variable aléatoire et loi binomiale

E(X)=\sum_i x_i\,P(X=x_i)

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

. Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

Fonction de répartition d'une variable aléatoire

La fonction de répartition de

X

est

F(x) = P(X \le x)

pour tout réel

x

. Pour une variable aléatoire discrète, c'est une fonction en escalier, croissante, qui passe de 0 à 1 et fait un saut de

P(X = x_i)

en chaque valeur

x_i

. Exemple :

X

= nombre de « pile » en deux lancers, avec

P(X = 0) = \dfrac{1}{4}

P(X = 1) = \dfrac{1}{2}

P(X = 2) = \dfrac{1}{4}

F(x) = 0

x < 0

\dfrac{1}{4}

sur

[0 ; 1[

\dfrac{3}{4}

sur

[1 ; 2[

, et

1

pour

x \ge 2

Événements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

; lorsque

P(B) \ne 0

, cela revient à

P_B(A) = P(A)

: savoir que

B

est réalisé ne change pas la probabilité de

A

. Ne pas confondre avec des événements incompatibles (

A \cap B = \emptyset

). Si

A

B

sont deux événements indépendants,

A

\bar B

le sont aussi. Lors d'épreuves successives indépendantes, les probabilités se multiplient. Exemple : on lance un dé ;

A

= « nombre pair » (

P = \dfrac{1}{2}

) et

B

= « nombre inférieur ou égal à 2 » (

P = \dfrac{1}{3}

) ;

A \cap B = \{2\}

a pour probabilité

\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}

: ces deux événements sont indépendants.

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement (ordre) là où l'énoncé décrit un tirage simultané (combinaison).

Écrire P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans avoir justifié l'indépendance.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Exemple corrigé

Énoncé

Une urne contient

5

boules rouges et

3

boules noires. On tire simultanément

3

boules. Calculer la probabilité d'obtenir exactement

2

rouges.

Correction

Tirage simultané : les issues sont les parties à

3

éléments, il y en a

\dbinom{8}{3}=56

Cas favorables : choisir

2

rouges parmi

5

1

noire parmi

3

\dbinom{5}{2}\times\dbinom{3}{1}=10\times 3=30

P(\text{exactement 2 rouges})=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Mathématiques du Bac SMB, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Combien de mains de

5

cartes peut-on former à partir d'un jeu de

32

cartes ?

Voir la correction

L'ordre n'intervient pas :

\dbinom{32}{5}=\dfrac{32\times 31\times 30\times 29\times 28}{5!}=\dfrac{24\,165\,120}{120}=201\,376

Exercice 2

Moyen

Une classe compte

60\%

de filles.

70\%

des filles et

40\%

des garçons sont internes. On choisit un élève au hasard ; il est interne. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Voir la correction

P(F)=0{,}6

P(G)=0{,}4

P(I\mid F)=0{,}7

P(I\mid G)=0{,}4

. Probabilités totales :

P(I)=0{,}6\times 0{,}7+0{,}4\times 0{,}4=0{,}42+0{,}16=0{,}58

. Bayes :

P(F\mid I)=\dfrac{0{,}42}{0{,}58}=\dfrac{21}{29}\approx 0{,}72

Exercice 3

Difficile

On lance

5

fois une pièce équilibrée. Soit

X

le nombre de « pile ». Donner la loi de

X

, puis calculer

E(X)

P(X\ge 1)

Voir la correction

Les lancers sont indépendants et identiques :

X\sim\mathcal{B}\!\left(5,\tfrac12\right)

, donc

P(X=k)=\dbinom{5}{k}\left(\tfrac12\right)^{5}=\dfrac{\binom{5}{k}}{32}

pour

k=0,\dots,5

E(X)=np=5\times\tfrac12=2{,}5

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison, comment choisir ?

Si l'ordre des éléments compte (podium, code, tirages successifs distincts), c'est un arrangement Aₙᵖ. Si l'ordre est indifférent (tirage simultané, sous-ensemble, main de cartes), c'est une combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement A peut se produire « en passant par » plusieurs cas incompatibles B₁, …, Bₙ qui recouvrent tout l'univers : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ). L'arbre pondéré en est la traduction visuelle.

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (succès/échec) répétée n fois de façon indépendante, avec une probabilité de succès p constante. Alors le nombre de succès X suit B(n, p), avec E(X) = np.