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Mathématiques · Bac SMB · Coefficient 9

Calcul intégral — Cours Maths Bac SMB

De la primitive à l'intégrale : propriétés (linéarité, Chasles, positivité), intégration par parties, valeur moyenne, aires, et l'étude d'une suite d'intégrales (Iₙ).

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SMB

Coefficient 9 en Bac SMB — la matière décisive de la filière, devant la Physique-Chimie (coefficient 7) et les Sciences de l'Ingénieur (coefficient 3). Programme SM en 14 chapitres, identique à celui de SMA. Le calcul intégral clôt le bloc d'analyse et combine tout ce qui précède : primitives, logarithme, exponentielle, et souvent une suite définie par une intégrale.

À l'épreuve

Un calcul d'intégrale par parties, l'établissement d'une relation de récurrence pour Iₙ = ∫ …, l'étude de la monotonie et de la limite de (Iₙ), et un calcul d'aire entre deux courbes ou sous une courbe.

Objectifs d'apprentissage

  • Relier intégrale et primitive : ∫ₐᵇ f(t) dt = F(b) − F(a)
  • Utiliser linéarité, relation de Chasles et positivité de l'intégrale
  • Appliquer l'intégration par parties
  • Calculer une valeur moyenne et une aire (entre courbes, sous une courbe)
  • Étudier une suite d'intégrales (Iₙ) : signe, monotonie, encadrement, limite

Notions clés

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff continue sur [a,b][a,b], alors ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)=[F(t)]ab\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)=\big[F(t)\big]_a^b.

Propriétés

Linéarité : ∫(λf+μg)=λ∫f+μ∫g\int(\lambda f+\mu g)=\lambda\int f+\mu\int g. Chasles : ∫ac=∫ab+∫bc\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c. Positivité : si f≥0f\ge 0 sur [a,b][a,b] alors ∫abf≥0\int_a^b f\ge 0 ; si f≤gf\le g alors ∫abf≤∫abg\int_a^b f\le\int_a^b g.

Intégration par parties

∫abu′(t)v(t) dt=[u(t)v(t)]ab−∫abu(t)v′(t) dt\displaystyle\int_a^b u'(t)v(t)\,dt=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\,dt. On choisit vv pour que v′v' simplifie l'intégrale (typiquement v=ln⁡tv=\ln t ou v=tnv=t^n).

Valeur moyenne et aire

Valeur moyenne de ff sur [a,b][a,b] : μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f. Aire entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g sur [a,b][a,b] (avec f≥gf\ge g) : ∫ab(f(t)−g(t)) dt\displaystyle\int_a^b\big(f(t)-g(t)\big)\,dt (en unités d'aire).

Fonction définie par une intégrale

Si ff est continue sur II et a∈Ia \in I, la fonction F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t)\,dt est la primitive de ff sur II qui s'annule en aa : F′=fF' = f. Si uu est dérivable à valeurs dans II, la fonction G(x)=∫au(x)f(t) dt=F(u(x))G(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt = F(u(x)) est dérivable et G′(x)=u′(x) f ⁣(u(x))G'(x) = u'(x)\,f\!\left(u(x)\right). Exemple : G(x)=∫1x2dttG(x) = \int_1^{x^2} \dfrac{dt}{t} pour x>0x > 0 vérifie G′(x)=2x×1x2=2xG'(x) = 2x \times \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{2}{x}, ce que confirme le calcul direct G(x)=ln⁡(x2)G(x) = \ln(x^2).

Sommes de Riemann

Si ff est continue sur [a;b][a ; b], les sommes de Riemann convergent vers son intégrale : lim⁡n→+∞b−an∑k=0n−1f ⁣(a+kb−an)=∫abf(x) dx\lim_{n\to+\infty} \dfrac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b - a}{n}\right) = \int_a^b f(x)\,dx. On s'en sert pour calculer la limite de suites définies par une somme. Exemples : 1n∑k=1nkn→∫01x dx=12\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n} \to \int_0^1 x\,dx = \dfrac{1}{2}, et ∑k=1n1n+k=1n∑k=1n11+k/n→∫01dx1+x=ln⁡2\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n + k} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + k/n} \to \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x} = \ln 2.

Volume d'un solide de révolution

Si ff est continue sur [a;b][a ; b], la rotation de sa courbe autour de l'axe (Ox)(Ox) engendre un solide dont le volume vaut V=∫abπ f(x)2 dxV = \int_a^b \pi\,f(x)^2\,dx (en unités de volume). Exemple : pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x} sur [0;4][0 ; 4], V=π∫04x dx=π[x22]04=8πV = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi. Avec f(x)=rf(x) = r constante sur [0;h][0 ; h], on retrouve le volume d'un cylindre, πr2h\pi r^2 h.

Erreurs fréquentes

1
Intégrer un produit terme à terme : ∫ fg ≠ (∫ f)(∫ g).
2
Oublier le crochet [uv]ₐᵇ dans une intégration par parties.
3
Conclure « aire = ∫ f » quand f change de signe : l'aire fait intervenir |f| ou une découpe par Chasles.
4
Étudier la limite d'une suite (Iₙ) sans l'avoir d'abord encadrée.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer I=∫01x ex dx\displaystyle I=\int_0^1 x\,e^{x}\,dx.

Correction

Intégration par parties avec u′(x)=exu'(x)=e^{x} et v(x)=xv(x)=x, donc u(x)=exu(x)=e^{x} et v′(x)=1v'(x)=1.
I=[x ex]01−∫01ex dxI=\big[x\,e^{x}\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx.
[x ex]01=1⋅e−0=e\big[x\,e^{x}\big]_0^1=1\cdot e-0=e et ∫01ex dx=[ex]01=e−1\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx=\big[e^{x}\big]_0^1=e-1.
I=e−(e−1)=1I=e-(e-1)=1.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer ∫1e1t dt\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{1}{t}\,dt et ∫01(3t2−2t) dt\displaystyle\int_0^{1}(3t^2-2t)\,dt.
Voir la correction
∫1edtt=[ln⁡t]1e=1−0=1\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{dt}{t}=\big[\ln t\big]_1^{e}=1-0=1. ∫01(3t2−2t) dt=[t3−t2]01=(1−1)−0=0\displaystyle\int_0^{1}(3t^2-2t)\,dt=\big[t^3-t^2\big]_0^1=(1-1)-0=0.

Exercice 2

Moyen
Calculer ∫1etln⁡t dt\displaystyle\int_1^{e} t\ln t\,dt.
Voir la correction
IPP avec u′(t)=tu'(t)=t, v(t)=ln⁡tv(t)=\ln t : u(t)=t22u(t)=\dfrac{t^2}{2}, v′(t)=1tv'(t)=\dfrac1t. ∫1etln⁡t dt=[t22ln⁡t]1e−∫1et2 dt=e22−12[t22]1e=e22−e2−14=e2+14\displaystyle\int_1^{e}t\ln t\,dt=\left[\dfrac{t^2}{2}\ln t\right]_1^{e}-\int_1^{e}\dfrac{t}{2}\,dt=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac12\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_1^{e}=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}=\dfrac{e^2+1}{4}.

Exercice 3

Difficile
Pour n∈Nn\in\mathbb{N}, on pose In=∫01tnet dtI_n=\displaystyle\int_0^{1}t^{n}e^{t}\,dt. Montrer que In=e−n In−1I_n=e-n\,I_{n-1} pour n≥1n\ge 1, et calculer I0I_0, I1I_1, I2I_2.
Voir la correction
IPP avec u′(t)=etu'(t)=e^{t}, v(t)=tnv(t)=t^{n} : In=[tnet]01−∫01n tn−1et dt=e−n In−1I_n=\big[t^{n}e^{t}\big]_0^1-\displaystyle\int_0^1 n\,t^{n-1}e^{t}\,dt=e-n\,I_{n-1}. I0=∫01et dt=e−1I_0=\displaystyle\int_0^1 e^{t}\,dt=e-1. I1=e−1⋅I0=e−(e−1)=1I_1=e-1\cdot I_0=e-(e-1)=1. I2=e−2 I1=e−2I_2=e-2\,I_1=e-2.

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Questions fréquentes

Quand utiliser l'intégration par parties ?

Quand l'intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant (t^n, ln t) et l'autre s'intègre facilement (e^t, cos t). Elle sert aussi à établir une relation de récurrence pour une suite d'intégrales.

Comment calcule-t-on une aire ?

Aire sous C_f entre a et b avec f ≥ 0 : ∫ₐᵇ f. Aire entre C_f et C_g avec f ≥ g : ∫ₐᵇ (f − g). Si le signe change, on découpe avec la relation de Chasles.

Comment étudier une suite (Iₙ) d'intégrales ?

On détermine son signe (positivité de l'intégrale), sa monotonie (comparer les intégrandes), un encadrement, puis on passe à la limite. Une relation de récurrence obtenue par IPP aide au calcul.

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