OrkaOrka/Bac/Sciences de Gestion Comptable (SGC)
Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac SGC

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et son usage financier — calculer une durée (de placement, de remboursement).

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Le logarithme sert à « inverser » une croissance géométrique : trouver au bout de combien de périodes un capital atteint un objectif, ou un emprunt est soldé.

À l'épreuve

Une équation $(1+i)^n=k$ résolue par le logarithme, une étude de fonction contenant $\ln$ (avec croissances comparées), ou une inéquation $\ln$ dont on cherche le plus petit entier solution.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Résoudre (1 + i)ⁿ = k en n grâce au logarithme
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u

Notions clés

Propriétés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Limites

lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0.

Résolution d'une croissance

(1+i)n=k  ⟺  n=ln⁡kln⁡(1+i)(1+i)^n=k \iff n=\dfrac{\ln k}{\ln(1+i)}. Pour « atteindre au moins » l'objectif, on arrondit à l'entier supérieur.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.

Erreurs fréquentes

1

Résoudre une équation avec ln sans fixer le domaine.

2

Écrire ln(a + b) = ln a + ln b.

3

Diviser par ln(1 + i) sans vérifier qu'il est positif.

4

Arrondir dans le mauvais sens (entier supérieur pour « au moins »).

Exemple corrigé

Énoncé

Au bout de combien d'années un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 4,5%4{,}5\% double-t-il ?

Correction

On cherche le plus petit entier nn tel que (1,045)n≥2(1{,}045)^n\ge 2.
(1,045)n≥2  ⟺  nln⁡(1,045)≥ln⁡2(1{,}045)^n\ge 2 \iff n\ln(1{,}045)\ge\ln 2.
ln⁡(1,045)>0\ln(1{,}045)>0, donc n≥ln⁡2ln⁡1,045≈0,69310,04402≈15,75n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}045}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}04402}\approx 15{,}75.
Le plus petit entier convenable est n=16n=16 : il faut 1616 années.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac SGC, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(3x+1)=ln⁡(2x+5)\ln(3x+1)=\ln(2x+5).
Voir la correction
Domaine : x>−13x>-\tfrac13. L'équation équivaut à 3x+1=2x+53x+1=2x+5, soit x=4x=4. Comme 4>−134>-\tfrac13, S={4}S=\{4\}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer le plus petit entier nn tel que (1,03)n≥2(1{,}03)^{n}\ge 2.
Voir la correction
(1,03)n≥2  ⟺  n≥ln⁡2ln⁡1,03≈0,69310,02956≈23,45(1{,}03)^{n}\ge 2 \iff n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}02956}\approx 23{,}45. Le plus petit entier est n=24n=24.

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=3ln⁡x−x+4f(x)=3\ln x-x+4 sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Étudier ses variations et son maximum.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty (car −x-x l'emporte). f′(x)=3x−1=3−xxf'(x)=\dfrac{3}{x}-1=\dfrac{3-x}{x} : ff croît sur ]0,3]]0,3], décroît sur [3,+∞[[3,+\infty[, avec un maximum f(3)=3ln⁡3−3+4=3ln⁡3+1≈4,30f(3)=3\ln 3-3+4=3\ln 3+1\approx 4{,}30.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Comment trouver une durée (placement, remboursement) ?

On écrit l'objectif sous la forme (1 + i)ⁿ ≥ k, on passe au logarithme : n ≥ ln k / ln(1 + i), puis on arrondit à l'entier supérieur.

Pourquoi le sens de l'inégalité est-il conservé ?

Parce que ln est strictement croissante : a ≤ b équivaut à ln a ≤ ln b pour a, b > 0. Diviser par ln(1 + i) > 0 conserve aussi le sens.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. Cela permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

À lire aussi

Fonctions exponentielles — Bac SGCSuites numériques — Bac SGCProgramme de Mathématiques Bac SGC