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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac SGC

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et son usage financier — calculer une durée (de placement, de remboursement).

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Le logarithme sert à « inverser » une croissance géométrique : trouver au bout de combien de périodes un capital atteint un objectif, ou un emprunt est soldé.

À l'épreuve

Une équation $(1+i)^n=k$ résolue par le logarithme, une étude de fonction contenant $\ln$ (avec croissances comparées), ou une inéquation $\ln$ dont on cherche le plus petit entier solution.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Résoudre (1 + i)ⁿ = k en n grâce au logarithme
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u

Notions clés

Propriétés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Limites

lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0.

Résolution d'une croissance

(1+i)n=k  ⟺  n=ln⁡kln⁡(1+i)(1+i)^n=k \iff n=\dfrac{\ln k}{\ln(1+i)}. Pour « atteindre au moins » l'objectif, on arrondit à l'entier supérieur.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.

Le logarithme décimal et l'équation 10x=a10^x = a

Le logarithme décimal est log⁡x=ln⁡xln⁡10\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} pour x>0x > 0 ; il vérifie log⁡(10x)=x\log(10^x) = x et log⁡10=1\log 10 = 1. Pour a>0a > 0, l'équation 10x=a10^x = a a donc une unique solution, x=log⁡ax = \log a. Exemple : 10x=25010^x = 250 donne x=log⁡250≈2,398x = \log 250 \approx 2{,}398. Application en mathématiques financières : un capital placé à intérêts composés au taux de 6 % double quand 1,06n=21{,}06^n = 2, soit n=log⁡2log⁡1,06≈11,9n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}06} \approx 11{,}9 : il faut 12 ans.

Erreurs fréquentes

1
Résoudre une équation avec ln sans fixer le domaine.
2
Écrire ln(a + b) = ln a + ln b.
3
Diviser par ln(1 + i) sans vérifier qu'il est positif.
4
Arrondir dans le mauvais sens (entier supérieur pour « au moins »).

Exemple corrigé

Énoncé

Au bout de combien d'années un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 4,5%4{,}5\% double-t-il ?

Correction

On cherche le plus petit entier nn tel que (1,045)n≥2(1{,}045)^n\ge 2.
(1,045)n≥2  ⟺  nln⁡(1,045)≥ln⁡2(1{,}045)^n\ge 2 \iff n\ln(1{,}045)\ge\ln 2.
ln⁡(1,045)>0\ln(1{,}045)>0, donc n≥ln⁡2ln⁡1,045≈0,69310,04402≈15,75n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}045}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}04402}\approx 15{,}75.
Le plus petit entier convenable est n=16n=16 : il faut 1616 années.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(3x+1)=ln⁡(2x+5)\ln(3x+1)=\ln(2x+5).
Voir la correction
Domaine : x>−13x>-\tfrac13. L'équation équivaut à 3x+1=2x+53x+1=2x+5, soit x=4x=4. Comme 4>−134>-\tfrac13, S={4}S=\{4\}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer le plus petit entier nn tel que (1,03)n≥2(1{,}03)^{n}\ge 2.
Voir la correction
(1,03)n≥2  ⟺  n≥ln⁡2ln⁡1,03≈0,69310,02956≈23,45(1{,}03)^{n}\ge 2 \iff n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}02956}\approx 23{,}45. Le plus petit entier est n=24n=24.

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=3ln⁡x−x+4f(x)=3\ln x-x+4 sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Étudier ses variations et son maximum.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty (car −x-x l'emporte). f′(x)=3x−1=3−xxf'(x)=\dfrac{3}{x}-1=\dfrac{3-x}{x} : ff croît sur ]0,3]]0,3], décroît sur [3,+∞[[3,+\infty[, avec un maximum f(3)=3ln⁡3−3+4=3ln⁡3+1≈4,30f(3)=3\ln 3-3+4=3\ln 3+1\approx 4{,}30.

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Questions fréquentes

Comment trouver une durée (placement, remboursement) ?

On écrit l'objectif sous la forme (1 + i)ⁿ ≥ k, on passe au logarithme : n ≥ ln k / ln(1 + i), puis on arrondit à l'entier supérieur.

Pourquoi le sens de l'inégalité est-il conservé ?

Parce que ln est strictement croissante : a ≤ b équivaut à ln a ≤ ln b pour a, b > 0. Diviser par ln(1 + i) > 0 conserve aussi le sens.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. Cela permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

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