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Mathématiques · Bac SGC · Coefficient 4

Suites numériques — Cours Maths Bac SGC

Suites arithmétiques et géométriques, récurrence, et leur usage comptable : actualisation, escompte, capital restant dû d'un emprunt indivis, valeur actuelle d'une suite d'annuités.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SGC

Coefficient 4 en Bac Sciences de Gestion Comptable, derrière la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 8, matière phare de la filière) et l'EOAE (coefficient 6). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres — analyse et probabilités —, identique à celui de la filière Éco : ni nombres complexes, ni géométrie dans l'espace, ni équations différentielles, ni arithmétique. Les suites sont directement réinvesties en Comptabilité et Mathématiques Financières (coef 8) : l'actualisation est une suite géométrique, le tableau d'amortissement d'un emprunt une suite récurrente affine.

À l'épreuve

Une valeur actualisée d'un effet de commerce (suite géométrique $V_0=V_n(1+i)^{-n}$), un capital restant dû modélisé par $D_{n+1}=(1+i)D_n-a$ résolu via une suite auxiliaire, et le calcul d'une valeur actuelle d'annuités par somme géométrique.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Modéliser une actualisation / capitalisation par une suite géométrique
  • Rédiger une démonstration par récurrence
  • Résoudre une suite récurrente affine (capital restant dû) via une suite auxiliaire
  • Calculer la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n=u_0+nr,   ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique de raison qq : un=u0qnu_n=u_0q^n,   ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1).

Capitalisation et actualisation

Capitalisation : Cn=C0(1+i)nC_n=C_0(1+i)^n (géométrique de raison 1+i1+i). Actualisation : la valeur actuelle d'un montant VnV_n disponible dans nn périodes est V0=Vn(1+i)−nV_0=V_n(1+i)^{-n}.

Suite récurrente affine

Le capital restant dû d'un emprunt à annuités constantes aa suit Dn+1=(1+i)Dn−aD_{n+1}=(1+i)D_n-a. La suite wn=Dn−ℓw_n=D_n-\ell, avec ℓ=ai\ell=\dfrac{a}{i}, est géométrique de raison 1+i1+i.

Valeur actuelle d'annuités

nn annuités constantes aa (fin de période) actualisées au taux ii : V0=∑k=1na(1+i)−k=a 1−(1+i)−niV_0=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a(1+i)^{-k}=a\,\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Erreurs fréquentes

1

Confondre capitalisation (exposant +n) et actualisation (exposant −n).

2

Confondre intérêts simples (suite arithmétique) et intérêts composés (suite géométrique).

3

Oublier l'initialisation dans une récurrence.

4

Utiliser la somme géométrique avec q = 1.

Exemple corrigé

Énoncé

Une traite de valeur nominale 20 00020\,000 DH est payable dans 33 ans. Au taux d'actualisation annuel de 6%6\%, calculer sa valeur actuelle V0V_0.

Correction

La valeur actuelle est V0=V3 (1,06)−3V_0=V_3\,(1{,}06)^{-3} avec V3=20 000V_3=20\,000.
(1,06)3=1,191016(1{,}06)^{3}=1{,}191016, donc (1,06)−3=11,191016≈0,839619(1{,}06)^{-3}=\dfrac{1}{1{,}191016}\approx 0{,}839619.
V0≈20 000×0,839619V_0\approx 20\,000\times 0{,}839619.
V0≈16 792,39V_0\approx 16\,792{,}39 DH.

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Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=4u_0=4 et de raison q=2q=2. Calculer u5u_5 et S=u0+u1+⋯+u5S=u_0+u_1+\dots+u_5.
Voir la correction
u5=4×25=128u_5=4\times 2^5=128. S=u01−q61−q=4×1−641−2=4×63=252S=u_0\dfrac{1-q^6}{1-q}=4\times\dfrac{1-64}{1-2}=4\times 63=252.

Exercice 2

Moyen
Un emprunt est remboursé par annuités. Le capital restant dû vérifie Dn+1=1,04 Dn−6000D_{n+1}=1{,}04\,D_n-6000, avec D0=40 000D_0=40\,000. On pose wn=Dn−150 000w_n=D_n-150\,000. Montrer que (wn)(w_n) est géométrique et exprimer DnD_n.
Voir la correction
ℓ\ell tel que ℓ=1,04ℓ−6000⇒ℓ=60000,04=150 000\ell=1{,}04\ell-6000 \Rightarrow \ell=\dfrac{6000}{0{,}04}=150\,000. wn+1=Dn+1−150 000=1,04(Dn−150 000)=1,04 wnw_{n+1}=D_{n+1}-150\,000=1{,}04(D_n-150\,000)=1{,}04\,w_n : géométrique de raison 1,041{,}04, w0=40 000−150 000=−110 000w_0=40\,000-150\,000=-110\,000. Donc wn=−110 000×(1,04)nw_n=-110\,000\times(1{,}04)^n et Dn=150 000−110 000×(1,04)nD_n=150\,000-110\,000\times(1{,}04)^n. (Vérification : D1=150 000−114 400=35 600=1,04×40 000−6000D_1=150\,000-114\,400=35\,600=1{,}04\times 40\,000-6000.)

Exercice 3

Difficile
Établir la formule de la valeur actuelle de 88 annuités constantes de 50005000 DH au taux annuel de 5%5\%, et la calculer.
Voir la correction
L'annuité versée à la fin de l'année kk (1≤k≤81\le k\le 8) a pour valeur actuelle 5000 (1,05)−k5000\,(1{,}05)^{-k}. En sommant : V0=∑k=185000 (1,05)−k=5000×1−(1,05)−80,05V_0=\displaystyle\sum_{k=1}^{8}5000\,(1{,}05)^{-k}=5000\times\dfrac{1-(1{,}05)^{-8}}{0{,}05}. Avec (1,05)8≈1,477455(1{,}05)^{8}\approx 1{,}477455, (1,05)−8≈0,676839(1{,}05)^{-8}\approx 0{,}676839 : V0≈5000×0,3231610,05≈5000×6,4632≈32 316V_0\approx 5000\times\dfrac{0{,}323161}{0{,}05}\approx 5000\times 6{,}4632\approx 32\,316 DH.

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Questions fréquentes

Capitalisation ou actualisation, quelle formule ?

Capitalisation (valeur future) : Cₙ = C₀(1 + i)ⁿ. Actualisation (valeur présente d'un montant futur) : V₀ = Vₙ(1 + i)⁻ⁿ. Ce sont deux opérations inverses.

Comment expliciter le capital restant dû d'un emprunt ?

Dₙ suit Dₙ₊₁ = (1 + i)Dₙ − a. On calcule le point fixe ℓ = a/i, la suite wₙ = Dₙ − ℓ est géométrique de raison 1 + i, on explicite wₙ puis Dₙ.

Qu'est-ce que la valeur actuelle d'une suite d'annuités ?

La somme des annuités chacune actualisée à aujourd'hui. Pour n annuités constantes a au taux i : V₀ = a·(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i.

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