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Physique-Chimie · Bac PC · Coefficient 7

Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe — Cours Physique Bac PC

Un solide qui tourne autour d'un axe fixe obéit à l'analogue rotationnel de la RFD : le théorème du moment cinétique relie le moment des forces à la variation du moment cinétique, le moment d'inertie J jouant le rôle de la masse.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre transpose la méthode des lois de Newton au mouvement de rotation : même démarche (inventaire, loi fondamentale, projection), mais avec le moment d'inertie $J_\Delta$ à la place de la masse et le moment cinétique à la place de la quantité de mouvement.

À l'épreuve

L'énoncé donne un solide en rotation (poulie, disque, tige) et un système de forces (fil, moteur, frottement) ; il faut calculer le moment d'inertie, écrire le théorème du moment cinétique, en déduire l'accélération angulaire, puis intégrer pour obtenir $\omega(t)$ et $\theta(t)$.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer le moment d'inertie $J_\Delta$ d'un solide de géométrie simple par rapport à un axe fixe
  • Calculer le moment d'une force par rapport à un axe : $M_\Delta(F)=\pm F\,d$
  • Appliquer le théorème du moment cinétique (TMC) : $J_\Delta\dfrac{d\omega}{dt}=\sum M_\Delta(F_{ext})$
  • Reconnaître les cas particuliers : rotation uniforme et rotation uniformément variée
  • Calculer l'énergie cinétique de rotation $E_c=\dfrac{1}{2}J_\Delta\omega^2$

Notions clés

Moment d'inertie

JΔ=∑miri2J_\Delta=\sum m_i r_i^2 caractérise la répartition de la masse autour de l'axe Δ\Delta (en kg\cdotpm2\text{kg·m}^2). Valeurs usuelles : cylindre plein J=12mR2J=\dfrac{1}{2}mR^2, anneau/cerceau J=mR2J=mR^2, tige autour de son centre J=112mL2J=\dfrac{1}{12}mL^2.

Moment cinétique et moment d'une force

Moment cinétique par rapport à l'axe : LΔ=JΔ ωL_\Delta=J_\Delta\,\omega. Moment d'une force : MΔ(F)=±F dM_\Delta(F)=\pm F\,d (dd = bras de levier, distance de l'axe à la ligne d'action de FF), signe selon le sens de rotation induit.

Théorème du moment cinétique (TMC)

dLΔdt=∑MΔ(Fext)\dfrac{dL_\Delta}{dt}=\sum M_\Delta(F_{ext}), soit JΔdωdt=∑MΔ(Fext)J_\Delta\dfrac{d\omega}{dt}=\sum M_\Delta(F_{ext}) — l'équivalent rotationnel de la RFD. Si ∑MΔ=0\sum M_\Delta=0 : rotation uniforme (ω\omega constant) ; si ∑MΔ\sum M_\Delta est constant : rotation uniformément variée.

Erreurs fréquentes

1
Confondre la masse totale mm et le moment d'inertie JΔJ_\Delta : ce dernier dépend de la répartition de la masse autour de l'axe, pas seulement de la masse totale.
2
Oublier le bras de levier : le moment d'une force appliquée sur l'axe lui-même est nul, quelle que soit son intensité.
3
Confondre le moment cinétique LΔ=JΔωL_\Delta=J_\Delta\omega (axe fixe, grandeur scalaire) avec la quantité de mouvement p=mvp=mv.

Exemple corrigé

Énoncé

Une poulie, assimilée à un disque homogène de masse M=0,40 kgM=0{,}40\ \text{kg} et de rayon R=0,10 mR=0{,}10\ \text{m} (JΔ=12MR2J_\Delta=\dfrac{1}{2}MR^2), tourne sans frottement autour de son axe fixe. Un fil enroulé sur la poulie exerce une force tangentielle constante F=2,0 NF=2{,}0\ \text{N}. Calculer JΔJ_\Delta, le moment de la force et l'accélération angulaire.

Correction

Moment d'inertie. JΔ=12MR2=12×0,40×0,102=2,0×10−3 kg\cdotpm2J_\Delta=\dfrac{1}{2}MR^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}40\times0{,}10^2=2{,}0\times10^{-3}\ \text{kg·m}^2.
Moment de la force. La force est tangentielle, appliquée au bord de la poulie : MΔ(F)=F R=2,0×0,10=0,20 N\cdotpmM_\Delta(F)=F\,R=2{,}0\times0{,}10=0{,}20\ \text{N·m}.
Accélération angulaire. TMC : JΔdωdt=MΔ(F)J_\Delta\dfrac{d\omega}{dt}=M_\Delta(F), donc dωdt=0,202,0×10−3=100 rad\cdotps−2\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{0{,}20}{2{,}0\times10^{-3}}=100\ \text{rad·s}^{-2}.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer le moment d'inertie d'un cylindre plein homogène de masse M=1,0 kgM=1{,}0\ \text{kg} et de rayon R=0,20 mR=0{,}20\ \text{m}.
Voir la correction
JΔ=12MR2=12×1,0×0,202=0,020 kg\cdotpm2J_\Delta=\dfrac{1}{2}MR^2=\dfrac{1}{2}\times1{,}0\times0{,}20^2=0{,}020\ \text{kg·m}^2.

Exercice 2

Moyen
Une tige de longueur L=1,0 mL=1{,}0\ \text{m} et de masse m=0,50 kgm=0{,}50\ \text{kg} tourne autour d'un axe passant par son centre (J=112mL2J=\dfrac{1}{12}mL^2). Calculer JJ, puis l'énergie cinétique de rotation pour ω=4,0 rad\cdotps−1\omega=4{,}0\ \text{rad·s}^{-1}.
Voir la correction
J=112×0,50×1,02≈4,17×10−2 kg\cdotpm2J=\dfrac{1}{12}\times0{,}50\times1{,}0^2\approx4{,}17\times10^{-2}\ \text{kg·m}^2. Ec=12Jω2=0,5×4,17×10−2×16≈0,33 JE_c=\dfrac{1}{2}J\omega^2=0{,}5\times4{,}17\times10^{-2}\times16\approx0{,}33\ \text{J}.

Exercice 3

Difficile
La poulie de l'exemple (JΔ=2,0×10−3 kg\cdotpm2J_\Delta=2{,}0\times10^{-3}\ \text{kg·m}^2) part du repos et subit un moment constant MΔ=0,20 N\cdotpmM_\Delta=0{,}20\ \text{N·m} pendant 3,0 s3{,}0\ \text{s}. Calculer sa vitesse angulaire finale, l'angle balayé et l'énergie cinétique acquise.
Voir la correction
dωdt=MΔJΔ=100 rad\cdotps−2\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{M_\Delta}{J_\Delta}=100\ \text{rad·s}^{-2} (constant). ω(t)=100 t⇒ω(3,0)=300 rad\cdotps−1\omega(t)=100\,t\Rightarrow\omega(3{,}0)=300\ \text{rad·s}^{-1}. θ(t)=50 t2⇒θ(3,0)=450 rad\theta(t)=50\,t^2\Rightarrow\theta(3{,}0)=450\ \text{rad}. Ec=12JΔω2=0,5×2,0×10−3×3002=90 JE_c=\dfrac{1}{2}J_\Delta\omega^2=0{,}5\times2{,}0\times10^{-3}\times300^2=90\ \text{J}.

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Questions fréquentes

Comment déterminer le signe du moment d'une force ?

On choisit un sens positif de rotation (souvent donné par l'énoncé) ; le moment est positif si la force tend à faire tourner le solide dans ce sens, négatif sinon. Une force dont la ligne d'action passe par l'axe a un moment nul quel que soit sa norme.

Le moment d'inertie dépend-il de la vitesse de rotation ?

Non : JΔJ_\Delta ne dépend que de la géométrie du solide (masse et distances à l'axe), pas de ω\omega. C'est une propriété fixe du solide pour un axe donné, exactement comme la masse est fixe en translation.

Quelle est l'analogie entre la RFD (translation) et le TMC (rotation) ?

m↔JΔm\leftrightarrow J_\Delta, v↔ωv\leftrightarrow\omega, ∑F↔∑MΔ\sum F\leftrightarrow\sum M_\Delta, p=mv↔LΔ=JΔωp=mv\leftrightarrow L_\Delta=J_\Delta\omega : la structure mathématique ∑F=m dv/dt\sum F=m\,dv/dt devient ∑MΔ=JΔ dω/dt\sum M_\Delta=J_\Delta\,d\omega/dt, avec les mêmes méthodes de résolution.

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