Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre transpose la méthode des lois de Newton au mouvement de rotation : même démarche (inventaire, loi fondamentale, projection), mais avec le moment d'inertie $J_\Delta$ à la place de la masse et le moment cinétique à la place de la quantité de mouvement.

À l'épreuve

L'énoncé donne un solide en rotation (poulie, disque, tige) et un système de forces (fil, moteur, frottement) ; il faut calculer le moment d'inertie, écrire le théorème du moment cinétique, en déduire l'accélération angulaire, puis intégrer pour obtenir $\omega(t)$ et $\theta(t)$.

Objectifs d'apprentissage

Calculer le moment d'inertie $J_\Delta$ d'un solide de géométrie simple par rapport à un axe fixe
Calculer le moment d'une force par rapport à un axe : $M_\Delta(F)=\pm F\,d$
Appliquer le théorème du moment cinétique (TMC) : $J_\Delta\dfrac{d\omega}{dt}=\sum M_\Delta(F_{ext})$
Reconnaître les cas particuliers : rotation uniforme et rotation uniformément variée
Calculer l'énergie cinétique de rotation $E_c=\dfrac{1}{2}J_\Delta\omega^2$

Notions clés

Moment d'inertie

J_\Delta=\sum m_i r_i^2

caractérise la répartition de la masse autour de l'axe

\Delta

(en

\text{kg·m}^2

). Valeurs usuelles : cylindre plein

J=\dfrac{1}{2}mR^2

, anneau/cerceau

J=mR^2

, tige autour de son centre

J=\dfrac{1}{12}mL^2

Moment cinétique et moment d'une force

Moment cinétique par rapport à l'axe :

L_\Delta=J_\Delta\,\omega

. Moment d'une force :

M_\Delta(F)=\pm F\,d

(

d

= bras de levier, distance de l'axe à la ligne d'action de

F

), signe selon le sens de rotation induit.

Théorème du moment cinétique (TMC)

\dfrac{dL_\Delta}{dt}=\sum M_\Delta(F_{ext})

, soit

J_\Delta\dfrac{d\omega}{dt}=\sum M_\Delta(F_{ext})

— l'équivalent rotationnel de la RFD. Si

\sum M_\Delta=0

: rotation uniforme (

\omega

constant) ; si

\sum M_\Delta

est constant : rotation uniformément variée.

Erreurs fréquentes

Confondre la masse totale $m$ et le moment d'inertie $J_\Delta$ : ce dernier dépend de la répartition de la masse autour de l'axe, pas seulement de la masse totale.

Oublier le bras de levier : le moment d'une force appliquée sur l'axe lui-même est nul, quelle que soit son intensité.

Confondre le moment cinétique $L_\Delta=J_\Delta\omega$ (axe fixe, grandeur scalaire) avec la quantité de mouvement $p=mv$.

Exemple corrigé

Énoncé

Une poulie, assimilée à un disque homogène de masse

M=0{,}40\ \text{kg}

et de rayon

R=0{,}10\ \text{m}

(

J_\Delta=\dfrac{1}{2}MR^2

), tourne sans frottement autour de son axe fixe. Un fil enroulé sur la poulie exerce une force tangentielle constante

F=2{,}0\ \text{N}

. Calculer

J_\Delta

, le moment de la force et l'accélération angulaire.

Correction

Moment d'inertie.

J_\Delta=\dfrac{1}{2}MR^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}40\times0{,}10^2=2{,}0\times10^{-3}\ \text{kg·m}^2

Moment de la force. La force est tangentielle, appliquée au bord de la poulie :

M_\Delta(F)=F\,R=2{,}0\times0{,}10=0{,}20\ \text{N·m}

Accélération angulaire. TMC :

J_\Delta\dfrac{d\omega}{dt}=M_\Delta(F)

, donc

\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{0{,}20}{2{,}0\times10^{-3}}=100\ \text{rad·s}^{-2}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer le moment d'inertie d'un cylindre plein homogène de masse

M=1{,}0\ \text{kg}

et de rayon

R=0{,}20\ \text{m}

Voir la correction

J_\Delta=\dfrac{1}{2}MR^2=\dfrac{1}{2}\times1{,}0\times0{,}20^2=0{,}020\ \text{kg·m}^2

Exercice 2

Moyen

Une tige de longueur

L=1{,}0\ \text{m}

et de masse

m=0{,}50\ \text{kg}

tourne autour d'un axe passant par son centre (

J=\dfrac{1}{12}mL^2

). Calculer

J

, puis l'énergie cinétique de rotation pour

\omega=4{,}0\ \text{rad·s}^{-1}

Voir la correction

J=\dfrac{1}{12}\times0{,}50\times1{,}0^2\approx4{,}17\times10^{-2}\ \text{kg·m}^2

E_c=\dfrac{1}{2}J\omega^2=0{,}5\times4{,}17\times10^{-2}\times16\approx0{,}33\ \text{J}

Exercice 3

Difficile

La poulie de l'exemple (

J_\Delta=2{,}0\times10^{-3}\ \text{kg·m}^2

) part du repos et subit un moment constant

M_\Delta=0{,}20\ \text{N·m}

pendant

3{,}0\ \text{s}

. Calculer sa vitesse angulaire finale, l'angle balayé et l'énergie cinétique acquise.

Voir la correction

\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{M_\Delta}{J_\Delta}=100\ \text{rad·s}^{-2}

(constant).

\omega(t)=100\,t\Rightarrow\omega(3{,}0)=300\ \text{rad·s}^{-1}

\theta(t)=50\,t^2\Rightarrow\theta(3{,}0)=450\ \text{rad}

E_c=\dfrac{1}{2}J_\Delta\omega^2=0{,}5\times2{,}0\times10^{-3}\times300^2=90\ \text{J}

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Questions fréquentes

Comment déterminer le signe du moment d'une force ?

On choisit un sens positif de rotation (souvent donné par l'énoncé) ; le moment est positif si la force tend à faire tourner le solide dans ce sens, négatif sinon. Une force dont la ligne d'action passe par l'axe a un moment nul quel que soit sa norme.

Le moment d'inertie dépend-il de la vitesse de rotation ?

Non : $J_\Delta$ ne dépend que de la géométrie du solide (masse et distances à l'axe), pas de $\omega$. C'est une propriété fixe du solide pour un axe donné, exactement comme la masse est fixe en translation.

Quelle est l'analogie entre la RFD (translation) et le TMC (rotation) ?

$m\leftrightarrow J_\Delta$, $v\leftrightarrow\omega$, $\sum F\leftrightarrow\sum M_\Delta$, $p=mv\leftrightarrow L_\Delta=J_\Delta\omega$ : la structure mathématique $\sum F=m\,dv/dt$ devient $\sum M_\Delta=J_\Delta\,d\omega/dt$, avec les mêmes méthodes de résolution.