Dipôle RL — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Le dipôle RL est le pendant du RC : même forme exponentielle, mais τ = L/R au lieu de RC, ce qui inverse l'effet d'une variation de R. Il prépare l'oscillateur RLC. Programme PC (29 chapitres).

À l'épreuve

Établir l'équation différentielle de i (loi des mailles avec uᴸ = L·di/dt + r·i), vérifier la solution i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)), exploiter τ graphiquement, comparer l'effet de R à celui d'un RC, calculer l'énergie stockée.

Objectifs d'apprentissage

Écrire la tension aux bornes d'une bobine : uᴸ = L·(di/dt) + r·i
Établir l'équation différentielle de i lors de l'établissement du courant
Vérifier la solution i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)) et déterminer le régime permanent
Calculer et lire la constante de temps τ = L/R
Calculer l'énergie magnétique stockée : ½L·i²

Notions clés

Tension aux bornes d'une bobine

Pour une bobine d'inductance

L

et de résistance interne

r

u_L=L\,\dfrac{di}{dt}+r\,i

. Une bobine s'oppose aux variations de courant :

i

est une fonction continue du temps.

Établissement du courant

Circuit

E

R

(totale, incluant

r

L

E=R\,i+L\,\dfrac{di}{dt}

, soit

\dfrac{di}{dt}+\dfrac{R}{L}i=\dfrac{E}{L}

. Solution avec

i(0)=0

i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)

\tau=\dfrac{L}{R}

Constante de temps et énergie

\tau=\dfrac{L}{R}

: augmenter R accélère le régime transitoire (contraire du RC). Régime permanent :

i\to\dfrac{E}{R}

. Énergie magnétique stockée :

\mathcal{E}_L=\dfrac{1}{2}L\,i^{\,2}

Erreurs fréquentes

Écrire τ = RL ou RC pour une bobine : c'est τ = L/R (homogène à des secondes, H/Ω = s).

Oublier la résistance interne r de la bobine dans la résistance totale du circuit.

Croire qu'une bobine impose la continuité de la tension : elle impose la continuité de l'intensité.

Exemple corrigé

Énoncé

Une bobine

L=0{,}5\ \text{H}

r=10\ \Omega

est en série avec

R_0=40\ \Omega

et un générateur

E=12\ \text{V}

. Donner

\tau

, l'intensité en régime permanent et

i(t)

Correction

Résistance totale.

R=R_0+r=40+10=50\ \Omega

Constante de temps.

\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}5}{50}=0{,}01\ \text{s}=10\ \text{ms}

Régime permanent.

\dfrac{di}{dt}\to 0

, donc

E=R\,I_\infty

, soit

I_\infty=\dfrac{12}{50}=0{,}24\ \text{A}

Expression.

i(t)=I_\infty\left(1-e^{-t/\tau}\right)=0{,}24\left(1-e^{-t/0{,}01}\right)

(en ampères).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une bobine a

L=100\ \text{mH}

dans un circuit de résistance totale

R=25\ \Omega

. Calculer

\tau

Voir la correction

\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}1}{25}=4\times10^{-3}\ \text{s}=4\ \text{ms}

Exercice 2

Moyen

En régime permanent,

i=0{,}5\ \text{A}

traverse une bobine

L=0{,}2\ \text{H}

. Calculer l'énergie magnétique stockée.

Voir la correction

\mathcal{E}_L=\dfrac{1}{2}L i^2=\dfrac{1}{2}\times0{,}2\times0{,}25=0{,}025\ \text{J}=25\ \text{mJ}

Exercice 3

Difficile

Comparer l'effet d'un doublement de

R

sur le régime transitoire d'un dipôle RC puis d'un dipôle RL.

Voir la correction

RC :

\tau=RC

, donc doubler

R

double

\tau

→ régime transitoire plus lent. RL :

\tau=L/R

, donc doubler

R

divise $\tau$ par 2 → régime transitoire plus rapide. La même résistance a un effet opposé selon le dipôle : c'est le contraste attendu à l'examen.

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Questions fréquentes

Pourquoi le courant ne peut-il pas être discontinu dans une bobine ?

Parce que uᴸ = L·(di/dt) : une discontinuité de i donnerait une tension infinie, physiquement impossible. À la fermeture d'un interrupteur, i part donc de 0 et croît continûment.

τ = L/R et τ = RC : comment ne pas les confondre ?

Vérifier l'homogénéité : L/R est en H/Ω = s ; RC est en Ω·F = s. Retenir l'effet : pour le RL, une grande R rend le circuit rapide ; pour le RC, une grande R le rend lent.

Que se passe-t-il à l'ouverture du circuit RL ?

La bobine tente de maintenir le courant : une surtension apparaît à ses bornes (l'étincelle sur un interrupteur). Dans les exercices, on ajoute souvent une diode de roue libre ou un résistor de décharge.