Oscillations libres d'un circuit RLC série — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre combine RC et RL en un oscillateur amorti et prépare le régime sinusoïdal forcé. Sans résistance (cas idéal LC), l'équation y″ + ω₀²y = 0 est celle vue en maths ; avec R, l'oscillation s'amortit.

À l'épreuve

À partir d'un enregistrement de uᶜ(t) : identifier le régime, mesurer la pseudo-période T, la comparer à T₀ = 2π√(LC), commenter l'amortissement (rôle de R), suivre le transfert d'énergie électrique ↔ magnétique avec dissipation Joule.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle du second ordre en uᶜ d'un RLC série libre
Distinguer les régimes pseudo-périodique, critique et apériodique selon R
Relier pseudo-période et période propre T₀ = 2π√(LC)
Exploiter la conservation puis la décroissance de l'énergie totale
Interpréter l'amortissement par l'effet Joule dans le résistor

Notions clés

Équation différentielle

Loi des mailles (

u_C+u_R+u_L=0

) avec

i=C\dfrac{du_C}{dt}

LC\,\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=0

, soit

\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{LC}u_C=0

Les trois régimes

Selon

R

: pseudo-périodique (

R

faible — oscillations amorties), critique (valeur limite

R_c

— retour le plus rapide sans osciller), apériodique (

R

grand — retour lent sans osciller). Pseudo-période

T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}

pour un amortissement faible.

Énergie

\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}C u_C^{\,2}+\dfrac{1}{2}L i^{\,2}

oscille entre forme électrique et magnétique et décroît globalement, l'énergie perdue étant dissipée par effet Joule dans

R

. Seul le cas idéal

LC

(

R=0

) conserve l'énergie.

Erreurs fréquentes

Parler de « période » alors que le régime est amorti : on dit pseudo-période, et T est légèrement supérieure à T₀.

Croire l'énergie totale constante avec R ≠ 0 : elle décroît ; seule l'oscillation idéale LC conserve l'énergie.

Confondre régime critique et régime apériodique : aucun des deux n'oscille, mais le critique est le retour le plus rapide.

Exemple corrigé

Énoncé

Un circuit LC idéal a

L=0{,}1\ \text{H}

C=1\ \mu\text{F}

. Calculer la pulsation propre

\omega_0

, la période propre

T_0

et la fréquence propre

f_0

Correction

Pulsation propre.

\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}1\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-7}}}\approx 3{,}2\times10^{3}\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{10^{-7}}\approx 2{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=2{,}0\ \text{ms}

Fréquence propre.

f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 5{,}0\times10^{2}\ \text{Hz}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Quelle(s) grandeur(s) augmente(nt) la période propre d'un RLC : L, C ou R ?

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{LC}

: augmenter

L

C

augmente la période propre.

R

n'agit que sur l'amortissement (et très peu sur

T

tant que celui-ci reste faible) ; une

R

trop grande fait disparaître les oscillations.

Exercice 2

Moyen

Sur un enregistrement, on compte 5 pseudo-oscillations en

8{,}0\ \text{ms}

. En déduire la pseudo-période, puis

L

C=0{,}47\ \mu\text{F}

(amortissement faible,

T\approx T_0

Voir la correction

T=\dfrac{8{,}0\times10^{-3}}{5}=1{,}6\times10^{-3}\ \text{s}

. De

T_0=2\pi\sqrt{LC}

L=\dfrac{T_0^{2}}{4\pi^2 C}=\dfrac{(1{,}6\times10^{-3})^2}{4\pi^2\times0{,}47\times10^{-6}}\approx 0{,}14\ \text{H}

Exercice 3

Difficile

Dans un RLC en régime pseudo-périodique, expliquer pourquoi l'amplitude des oscillations de uᶜ décroît, et ce que devient l'énergie perdue.

Voir la correction

L'énergie totale

\mathcal{E}=\frac{1}{2}Cu_C^2+\frac{1}{2}Li^2

n'est pas conservée : le résistor dissipe

P_J=Ri^2>0

dès que

i\neq 0

. À chaque pseudo-période, une part de l'énergie devient chaleur, donc les maxima successifs de

|u_C|

(aux instants où

i=0

, on a

\mathcal{E}=\frac{1}{2}Cu_C^2

) décroissent. L'oscillation cesse quand toute l'énergie initiale

\frac{1}{2}CE^2

a été dissipée.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre période propre T₀ et pseudo-période T ?

T₀ = 2π√(LC) est la période de l'oscillateur idéal (R = 0). Avec R ≠ 0, l'oscillation est amortie : sa pseudo-période T est légèrement supérieure à T₀, et pour un amortissement faible on fait l'approximation T ≈ T₀.

Comment reconnaître le régime critique ?

C'est la valeur Rᶜ qui sépare le régime pseudo-périodique (oscillations) du régime apériodique (aucune oscillation). Au régime critique, uᶜ revient à 0 le plus rapidement possible sans jamais changer de signe.

L'énergie est-elle conservée dans un RLC ?

Seulement dans le cas idéal LC (R = 0), où elle passe alternativement de forme électrique (condensateur) à magnétique (bobine). Dès que R ≠ 0, l'énergie totale décroît, dissipée par effet Joule.