Oscillations libres d'un circuit RLC série — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre combine RC et RL en un oscillateur amorti, le dernier circuit du programme d'électricité de la filière PC. Sans résistance (cas idéal LC), l'équation y″ + ω₀²y = 0 est celle vue en maths ; avec R, l'oscillation s'amortit.

À l'épreuve

À partir d'un enregistrement de uᶜ(t) : identifier le régime, mesurer la pseudo-période T, la comparer à T₀ = 2π√(LC), commenter l'amortissement (rôle de R), suivre le transfert d'énergie électrique ↔ magnétique avec dissipation Joule.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle du second ordre en uᶜ d'un RLC série libre
Distinguer les régimes pseudo-périodique, critique et apériodique selon R
Relier pseudo-période et période propre T₀ = 2π√(LC)
Exploiter la conservation puis la décroissance de l'énergie totale
Interpréter l'amortissement par l'effet Joule dans le résistor

Notions clés

Équation différentielle

Loi des mailles (

u_C+u_R+u_L=0

) avec

i=C\dfrac{du_C}{dt}

LC\,\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=0

, soit

\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{LC}u_C=0

Les trois régimes

Selon

R

: pseudo-périodique (

R

faible — oscillations amorties), critique (valeur limite

R_c

— retour le plus rapide sans osciller), apériodique (

R

grand — retour lent sans osciller). Pseudo-période

T\approx T_0=2\pi\sqrt{LC}

pour un amortissement faible.

Énergie

\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}C u_C^{\,2}+\dfrac{1}{2}L i^{\,2}

oscille entre forme électrique et magnétique et décroît globalement, l'énergie perdue étant dissipée par effet Joule dans

R

. Seul le cas idéal

LC

(

R=0

) conserve l'énergie.

Entretien des oscillations

Dans un circuit RLC réel, la résistance dissipe l'énergie par effet Joule : les oscillations libres s'amortissent. Pour obtenir des oscillations entretenues, on ajoute un générateur qui restitue à chaque instant l'énergie perdue ; il se comporte comme une résistance négative et délivre

u_g = R_0\,i

. La loi des mailles donne

L\dfrac{d^2q}{dt^2} + (R - R_0)\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0

. En réglant

R_0 = R

, on retrouve

\dfrac{d^2q}{dt^2} + \dfrac{1}{LC}\,q = 0

: des oscillations sinusoïdales non amorties, de période propre

T_0 = 2\pi\sqrt{LC}

Erreurs fréquentes

Parler de « période » alors que le régime est amorti : on dit pseudo-période, et T est légèrement supérieure à T₀.

Croire l'énergie totale constante avec R ≠ 0 : elle décroît ; seule l'oscillation idéale LC conserve l'énergie.

Confondre régime critique et régime apériodique : aucun des deux n'oscille, mais le critique est le retour le plus rapide.

Exemple corrigé

Énoncé

Un circuit LC idéal a

L=0{,}1\ \text{H}

C=1\ \mu\text{F}

. Calculer la pulsation propre

\omega_0

, la période propre

T_0

et la fréquence propre

f_0

Correction

Pulsation propre.

\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}1\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-7}}}\approx 3{,}2\times10^{3}\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{10^{-7}}\approx 2{,}0\times10^{-3}\ \text{s}=2{,}0\ \text{ms}

Fréquence propre.

f_0=\dfrac{1}{T_0}\approx 5{,}0\times10^{2}\ \text{Hz}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Quelle(s) grandeur(s) augmente(nt) la période propre d'un RLC : L, C ou R ?

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{LC}

: augmenter

L

C

augmente la période propre.

R

n'agit que sur l'amortissement (et très peu sur

T

tant que celui-ci reste faible) ; une

R

trop grande fait disparaître les oscillations.

Exercice 2

Moyen

Sur un enregistrement, on compte 5 pseudo-oscillations en

8{,}0\ \text{ms}

. En déduire la pseudo-période, puis

L

C=0{,}47\ \mu\text{F}

(amortissement faible,

T\approx T_0

Voir la correction

T=\dfrac{8{,}0\times10^{-3}}{5}=1{,}6\times10^{-3}\ \text{s}

. De

T_0=2\pi\sqrt{LC}

L=\dfrac{T_0^{2}}{4\pi^2 C}=\dfrac{(1{,}6\times10^{-3})^2}{4\pi^2\times0{,}47\times10^{-6}}\approx 0{,}14\ \text{H}

Exercice 3

Difficile

Dans un RLC en régime pseudo-périodique, expliquer pourquoi l'amplitude des oscillations de uᶜ décroît, et ce que devient l'énergie perdue.

Voir la correction

L'énergie totale

\mathcal{E}=\frac{1}{2}Cu_C^2+\frac{1}{2}Li^2

n'est pas conservée : le résistor dissipe

P_J=Ri^2>0

dès que

i\neq 0

. À chaque pseudo-période, une part de l'énergie devient chaleur, donc les maxima successifs de

|u_C|

(aux instants où

i=0

, on a

\mathcal{E}=\frac{1}{2}Cu_C^2

) décroissent. L'oscillation cesse quand toute l'énergie initiale

\frac{1}{2}CE^2

a été dissipée.

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Questions fréquentes

Quelle différence entre période propre T₀ et pseudo-période T ?

T₀ = 2π√(LC) est la période de l'oscillateur idéal (R = 0). Avec R ≠ 0, l'oscillation est amortie : sa pseudo-période T est légèrement supérieure à T₀, et pour un amortissement faible on fait l'approximation T ≈ T₀.

Comment reconnaître le régime critique ?

C'est la valeur Rᶜ qui sépare le régime pseudo-périodique (oscillations) du régime apériodique (aucune oscillation). Au régime critique, uᶜ revient à 0 le plus rapidement possible sans jamais changer de signe.

L'énergie est-elle conservée dans un RLC ?

Seulement dans le cas idéal LC (R = 0), où elle passe alternativement de forme électrique (condensateur) à magnétique (bobine). Dès que R ≠ 0, l'énergie totale décroît, dissipée par effet Joule.