Dipôle RC — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7 en Bac PC, à égalité avec les Mathématiques. Le dipôle RC ouvre l'électricité du programme (29 chapitres) et réinvestit directement le chapitre de maths sur les équations différentielles y′ = ay + b. Les filières SVT, Agro, STE et STM étudient ce même dipôle dans un programme réduit à 23 chapitres.

À l'épreuve

Un exercice quasi systématique : à partir d'un montage et d'un oscillogramme, établir l'équation différentielle de uᶜ (loi des mailles + q = C·uᶜ + i = dq/dt), vérifier une solution proposée, exploiter τ (tangente à l'origine ou 63 % du régime permanent), calculer l'énergie.

Objectifs d'apprentissage

Relier charge, tension et intensité pour un condensateur : q = C·uᶜ et i = C·(duᶜ/dt)
Établir l'équation différentielle de uᶜ en charge et en décharge
Vérifier qu'une expression proposée est solution de l'équation différentielle
Déterminer la constante de temps τ = RC graphiquement et par le calcul
Calculer l'énergie stockée dans le condensateur : ½C·uᶜ²

Notions clés

Relations de base

Charge :

q=C\,u_C

(

C

en farads). Intensité :

i=\dfrac{dq}{dt}=C\,\dfrac{du_C}{dt}

. Tension aux bornes du résistor :

u_R=R\,i

Équation différentielle et solution (charge)

Loi des mailles :

E=u_R+u_C=RC\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C

, soit

\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{RC}u_C=\dfrac{E}{RC}

. Solution avec

u_C(0)=0

u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)

\tau=RC

Constante de temps et énergie

\tau=RC

(en secondes) : au bout de

\tau

u_C

atteint

63\,\%

E

; le régime permanent est quasi atteint à

5\tau

. La tangente à l'origine coupe l'asymptote

u_C=E

t=\tau

. Énergie stockée :

\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C\,u_C^{\,2}

Association de condensateurs

En série, les condensateurs portent la même charge

q

et leurs tensions s'additionnent :

\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}

. La capacité équivalente est plus petite que la plus petite des capacités. En parallèle (en dérivation), ils sont soumis à la même tension et leurs charges s'additionnent :

C_{eq} = C_1 + C_2

. Exemple : avec

C_1 = 2\,\mu F

C_2 = 3\,\mu F

, on obtient

C_{eq} = 1{,}2\,\mu F

en série et

5\,\mu F

en parallèle. L'association change la constante de temps du circuit :

\tau = R\,C_{eq}

Erreurs fréquentes

Écrire i = C·uᶜ au lieu de i = C·(duᶜ/dt) : i dépend de la variation de uᶜ.

Homogénéité de τ : RC est bien une durée (Ω·F = s), à ne pas confondre avec R/C ou L/R.

Oublier le régime visé : en charge uᶜ tend vers E, en décharge vers 0 ; la constante τ = RC est la même.

Exemple corrigé

Énoncé

Un condensateur

C=10\ \mu\text{F}

initialement déchargé est chargé à travers

R=20\ \text{k}\Omega

sous

E=6\ \text{V}

. Donner

\tau

, l'expression de

u_C(t)

, puis

u_C

t=\tau

et à

t=5\tau

Correction

Constante de temps.

\tau=RC=20\times10^{3}\times10\times10^{-6}=0{,}2\ \text{s}

Équation différentielle.

E=Ri+u_C

avec

i=C\dfrac{du_C}{dt}

, d'où

\dfrac{du_C}{dt}+\dfrac{1}{\tau}u_C=\dfrac{E}{\tau}

Solution. Avec

u_C(0)=0

u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)=6\left(1-e^{-t/0{,}2}\right)

(en volts).

Valeurs. À

t=\tau

u_C=6(1-e^{-1})\approx 3{,}8\ \text{V}

. À

t=5\tau

u_C=6(1-e^{-5})\approx 5{,}96\ \text{V}

(régime permanent).

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un dipôle RC a

\tau=2\ \text{ms}

R=1\ \text{k}\Omega

. Calculer

C

Voir la correction

\tau=RC\Rightarrow C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{2\times10^{-3}}{1\times10^{3}}=2\times10^{-6}\ \text{F}=2\ \mu\text{F}

Exercice 2

Moyen

Lors d'une décharge,

u_C(t)=E\,e^{-t/\tau}

avec

E=12\ \text{V}

\tau=0{,}5\ \text{s}

. À quel instant

u_C=3\ \text{V}

Voir la correction

3=12\,e^{-t/0{,}5}\Rightarrow e^{-t/0{,}5}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow -\dfrac{t}{0{,}5}=-\ln 4\Rightarrow t=0{,}5\ln 4\approx 0{,}69\ \text{s}

Exercice 3

Difficile

Vérifier que

u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)

est solution de

\tau\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E

, puis calculer l'énergie stockée en régime permanent pour

E=6\ \text{V}

C=10\ \mu\text{F}

Voir la correction

\dfrac{du_C}{dt}=\dfrac{E}{\tau}e^{-t/\tau}

, donc

\tau\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E\,e^{-t/\tau}+E\left(1-e^{-t/\tau}\right)=E

pour tout

t

. En régime permanent

u_C\to E

, donc

\mathcal{E}_C=\dfrac{1}{2}C E^2=\dfrac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times36=1{,}8\times10^{-4}\ \text{J}

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Questions fréquentes

Comment lire graphiquement la constante de temps τ ?

Deux méthodes : la tangente à uᶜ(t) en t = 0 coupe l'asymptote horizontale à l'abscisse t = τ ; ou bien on lit l'instant où uᶜ atteint 63 % de sa valeur finale (charge), ou est tombée à 37 % (décharge).

Quel est le lien avec le chapitre de maths sur les équations différentielles ?

L'équation du dipôle RC est du type y′ = ay + b : sa solution générale est C·eᵃᵗ − b/a. En maths on la résout abstraitement ; en physique on identifie a = −1/τ, on applique la condition initiale et on interprète.

Que devient l'énergie fournie pendant la charge ?

Le générateur fournit E·q ; la moitié est stockée dans le condensateur (½C·E²), l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans le résistor, quelle que soit la valeur de R.