Décroissance radioactive — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre applique l'équation différentielle N′ = −λN (vue en maths) à un phénomène nucléaire, et introduit la demi-vie, utilisée en datation. Il précède « Noyaux, masse et énergie ».

À l'épreuve

Compléter une équation de désintégration avec les lois de Soddy (conservation de A et de Z), exploiter la loi de décroissance : calculer λ à partir de t₁/₂ (ou l'inverse), déterminer N ou l'activité A à un instant t, faire une datation (¹⁴C, roches).

Objectifs d'apprentissage

Identifier une radioactivité α, β⁻, β⁺ ou γ et écrire l'équation correspondante
Appliquer les lois de conservation du nombre de charge Z et du nombre de nucléons A
Établir et utiliser N(t) = N₀·e^(−λt)
Relier constante radioactive et demi-vie : t₁/₂ = ln2/λ
Calculer une activité A = λN et l'exploiter pour une datation

Notions clés

Types de radioactivité et lois de Soddy

\alpha

: émission d'un noyau

^{4}_{2}\text{He}

\beta^-

: un neutron

\to

proton

+\ ^{0}_{-1}e

\beta^+

: un proton

\to

neutron

+\ ^{0}_{1}e

\gamma

: désexcitation (photon). Dans chaque équation, conservation de $Z$ (nombre de charge) et de $A$ (nombre de nucléons).

Loi de décroissance

Le nombre de noyaux non désintégrés vérifie

\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N

, d'où

N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}

\lambda

(en

\text{s}^{-1}

) est la constante radioactive : probabilité de désintégration d'un noyau par unité de temps.

Demi-vie et activité

La demi-vie

t_{1/2}

est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés :

N(t_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}

donne

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

. L'activité

A=-\dfrac{dN}{dt}=\lambda N=A_0\,e^{-\lambda t}

, en becquerels (1 Bq = 1 désintégration/s).

Composition du noyau, isotopes et diagramme (N,Z)

Un noyau

{}^{A}_{Z}X

contient

Z

protons et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

(même élément) mais des nombres de neutrons différents :

{}^{12}_{6}C

{}^{14}_{6}C

, ou

{}^{235}_{92}U

{}^{238}_{92}U

. Le diagramme (N,Z) (diagramme de Segrè) place chaque noyau selon son nombre de protons et de neutrons : les noyaux stables forment la vallée de stabilité, proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Un noyau situé au-dessus de la vallée (excès de neutrons) est en général émetteur

\beta^-

, un noyau situé en dessous émetteur

\beta^+

, et les noyaux très lourds (

A > 200

) sont souvent émetteurs

\alpha

Erreurs fréquentes

Écrire t₁/₂ = 1/λ : c'est t₁/₂ = ln2/λ (la durée 1/λ est la constante de temps τ, où N = N₀/e).

Oublier une des deux lois de conservation (A et Z) en équilibrant une équation nucléaire.

Confondre activité A (désintégrations/s, en Bq) et nombre de noyaux N : A = λN.

Exemple corrigé

Énoncé

Le polonium

^{210}_{84}\text{Po}

est radioactif

\alpha

avec

t_{1/2}=138\ \text{jours}

. Écrire l'équation de désintégration, calculer

\lambda

(en

\text{jour}^{-1}

), et la fraction de noyaux restants après

414\ \text{jours}

Correction

Équation.

^{210}_{84}\text{Po}\rightarrow\ ^{A}_{Z}\text{X}+\ ^{4}_{2}\text{He}

avec

A=210-4=206

Z=84-2=82

^{210}_{84}\text{Po}\rightarrow\ ^{206}_{82}\text{Pb}+\ ^{4}_{2}\text{He}

Constante radioactive.

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{138}\approx5{,}0\times10^{-3}\ \text{jour}^{-1}

Fraction restante.

414=3\times138=3\,t_{1/2}

, donc

\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125

: il reste

12{,}5\ \%

des noyaux.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices et des examens blancs corrigés sur le programme de Physique-Chimie du Bac PC, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre (selon les limites de ton offre).

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une source a une demi-vie

t_{1/2}=8{,}0\ \text{jours}

. Calculer

\lambda

\text{jour}^{-1}

Voir la correction

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{8{,}0}\approx8{,}7\times10^{-2}\ \text{jour}^{-1}

Exercice 2

Moyen

Compléter :

^{14}_{6}\text{C}\rightarrow\ ^{14}_{7}\text{N}+\ ?

. Quel type de radioactivité ?

Voir la correction

La particule a

A=0

Z=-1

: c'est un électron

^{0}_{-1}e

. Il s'agit d'une radioactivité

\beta^-

(un neutron du carbone 14 se transforme en proton).

Exercice 3

Difficile

Un bois archéologique a une activité en ¹⁴C égale au quart de celle d'un bois actuel. Avec

t_{1/2}(^{14}\text{C})=5{,}7\times10^{3}\ \text{ans}

, estimer son âge.

Voir la correction

\dfrac{A}{A_0}=e^{-\lambda t}=\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}

, donc

t=2\,t_{1/2}=2\times5{,}7\times10^{3}\approx1{,}1\times10^{4}\ \text{ans}

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Différence entre demi-vie et constante de temps ?

La demi-vie t₁/₂ = ln2/λ est la durée pour que N (ou A) soit divisé par 2. La constante de temps τ = 1/λ est la durée pour être divisé par e ≈ 2,7. On a t₁/₂ ≈ 0,693·τ.

Comment équilibrer une équation nucléaire ?

On applique deux conservations : le nombre de nucléons A (indice supérieur) et le nombre de charge Z (indice inférieur). On en déduit le noyau fils et la particule émise.

Qu'est-ce que l'activité d'une source ?

Le nombre de désintégrations par seconde : A = λN, en becquerels (Bq). Elle décroît avec le même λ que N : A(t) = A₀·e^(−λt).