Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé — Cours Physique Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec les Mathématiques. Ce chapitre prolonge les oscillations libres : au lieu de laisser le circuit osciller seul, on l'excite en permanence par un GBF. La résonance y est le phénomène central, réinvesti dans l'idée de sélectivité (récepteur radio).

À l'épreuve

À partir de mesures d'amplitude et de déphasage selon la fréquence : établir Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), identifier la résonance (Lω₀ = 1/(Cω₀)), calculer I₀ = Uₘ/R, le facteur de qualité Q et la bande passante Δf = f₀/Q.

Objectifs d'apprentissage

Calculer l'impédance Z d'un RLC série et le déphasage φ entre u et i
Déterminer la pulsation de résonance ω₀ = 1/√(LC)
Établir qu'à la résonance Z = R et u, i sont en phase
Calculer le facteur de qualité Q et la bande passante Δf = f₀/Q
Interpréter la surtension aux bornes de L et de C à la résonance

Notions clés

Impédance et déphasage

À la pulsation

\omega

, l'amplitude de l'intensité est

I_m=\dfrac{U_m}{Z}

avec

Z=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}

. Le déphasage

\varphi

u

par rapport à

i

vérifie

\tan\varphi=\dfrac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R}

Résonance d'intensité

I_m

est maximale quand

Z

est minimale, c'est-à-dire quand

L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}

, soit

\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}

(pulsation propre). Alors

Z=R

I_{m,\max}=\dfrac{U_m}{R}

u

i

sont en phase (

\varphi=0

Facteur de qualité et bande passante

Q=\dfrac{L\omega_0}{R}=\dfrac{1}{RC\omega_0}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}

. La bande passante (

I_m\ge\frac{I_{m,\max}}{\sqrt2}

) a pour largeur

\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}

. Un grand

Q

(petit

R

) = résonance aiguë, circuit sélectif.

Erreurs fréquentes

Oublier le carré dans Z : c'est √(R² + (…)²), pas R + (Lω − 1/(Cω)).

Confondre pulsation ω (rad/s) et fréquence f (Hz) : ω = 2πf.

Croire qu'à la résonance la tension aux bornes de L ou de C est faible : elle peut être Q fois plus grande que Uₘ (surtension).

Exemple corrigé

Énoncé

Un RLC série

R=20\ \Omega

L=0{,}20\ \text{H}

C=2{,}0\ \mu\text{F}

est alimenté par un GBF d'amplitude

U_m=6{,}0\ \text{V}

. Calculer

f_0

, l'intensité maximale à la résonance et

Q

Correction

Fréquence de résonance.

f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0{,}20\times2{,}0\times10^{-6}}}\approx 2{,}5\times10^{2}\ \text{Hz}

Intensité à la résonance.

Z=R

, donc

I_m=\dfrac{U_m}{R}=\dfrac{6{,}0}{20}=0{,}30\ \text{A}

Facteur de qualité.

\omega_0=2\pi f_0\approx 1{,}58\times10^{3}\ \text{rad/s}

, donc

Q=\dfrac{L\omega_0}{R}=\dfrac{0{,}20\times1{,}58\times10^{3}}{20}\approx 16

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

À la résonance d'un RLC série, quel est le déphasage entre la tension du générateur et l'intensité ?

Voir la correction

L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}

, donc

\tan\varphi=0

Z=R

: la tension et l'intensité sont en phase,

\varphi=0

Exercice 2

Moyen

Un RLC a

f_0=800\ \text{Hz}

Q=10

. Calculer la largeur de bande passante

\Delta f

et les fréquences de coupure.

Voir la correction

\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}=\dfrac{800}{10}=80\ \text{Hz}

. Les fréquences de coupure encadrent

f_0

f_1\approx f_0-\dfrac{\Delta f}{2}=760\ \text{Hz}

f_2\approx f_0+\dfrac{\Delta f}{2}=840\ \text{Hz}

Exercice 3

Difficile

Montrer qu'à la résonance

Z

est minimale et vaut

R

, et expliquer la « surtension » aux bornes du condensateur.

Voir la correction

Z=\sqrt{R^2+X^2}

avec

X=L\omega-\dfrac{1}{C\omega}

Z

minimale quand

X=0

, soit

L\omega_0=\dfrac{1}{C\omega_0}

, alors

Z=R

. L'amplitude aux bornes de

C

vaut

U_{C,m}=\dfrac{I_m}{C\omega_0}=\dfrac{U_m}{RC\omega_0}=Q\,U_m

. Comme

Q

peut valoir plusieurs dizaines,

U_{C,m}\gg U_m

: c'est la surtension, utile pour sélectionner une fréquence mais dangereuse pour les composants.

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Questions fréquentes

Résonance d'intensité et pulsation propre, est-ce la même ω₀ ?

Oui : la résonance d'intensité a lieu à ω₀ = 1/√(LC), exactement la pulsation propre du circuit LC. C'est pourquoi on retrouve T₀ = 2π√(LC) du chapitre sur les oscillations libres.

À quoi sert le facteur de qualité Q ?

Il mesure l'acuité de la résonance : Δf = f₀/Q. Un Q élevé (R petit) donne une résonance étroite et sélective — le principe de l'accord d'un récepteur radio. Il quantifie aussi la surtension aux bornes de L et de C.

Comment calculer l'impédance Z ?

Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), avec ω = 2πf. Le terme Lω − 1/(Cω) est la réactance : positive au-dessus de la résonance (inductif), négative en dessous (capacitif), nulle à la résonance.