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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Suites numériques — Cours Maths Bac PC

Suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence et étude d'une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) jusqu'à sa limite — un exercice classique de l'épreuve de maths PC.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7, à égalité avec la Physique-Chimie. Le programme de suites est celui des filières expérimentales : suites arithmétiques et géométriques, récurrence, suites récurrentes et convergence. La démonstration par récurrence introduite ici est réutilisée dans presque tous les autres chapitres.

À l'épreuve

Très souvent un exercice à part entière : on définit une suite auxiliaire (souvent géométrique) à partir d'une suite récurrente, on demande une démonstration par récurrence (encadrement, monotonie), puis la convergence et le calcul de la limite en résolvant ℓ = f(ℓ).

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et donner son terme général et la somme de ses premiers termes
  • Étudier le sens de variation par le signe de uₙ₊₁ − uₙ ou, pour une suite positive, le rapport uₙ₊₁/uₙ
  • Démontrer une propriété pour tout n par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion
  • Encadrer une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) et en étudier la monotonie
  • Justifier la convergence par le théorème de la limite monotone et calculer la limite via ℓ = f(ℓ)

Notions clés

Formules de base

Arithmétique : un=u0+nru_n=u_0+nr et ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique (q≠1)(q\neq 1) : un=u0 q nu_n=u_0\,q^{\,n} et ∑k=0n−1uk=u01−q n1−q\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^{\,n}}{1-q}.

Limite d'une suite géométrique

Si q>1q>1, q n→+∞q^{\,n}\to+\infty ; si q=1q=1, q n=1q^{\,n}=1 ; si −1<q<1-1<q<1, q n→0q^{\,n}\to 0 ; si q≤−1q\le -1, pas de limite. C'est l'outil de conclusion une fois une suite auxiliaire géométrique identifiée.

Suite récurrente et limite monotone

Pour un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) : on prouve par récurrence un encadrement a≤un≤ba\le u_n\le b, puis la monotonie via le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n. Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge. Si ff est continue en la limite ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).

Erreurs fréquentes

1
Oublier l'initialisation dans une récurrence : vérifier la propriété au rang 0 (ou 1) est indispensable.
2
Annoncer la limite d'une suite récurrente en résolvant ℓ = f(ℓ) sans avoir prouvé la convergence.
3
Confondre « majorée » et « convergente » : une suite majorée ne converge que si elle est aussi monotone.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}. Montrer que 0≤un≤20\le u_n\le 2 pour tout nn, que (un)(u_n) est croissante, puis déterminer sa limite.

Correction

Encadrement (récurrence). u0=0∈[0,2]u_0=0\in[0,2]. Si 0≤un≤20\le u_n\le 2, alors 2≤un+2≤42\le u_n+2\le 4, donc 2≤un+1≤2\sqrt{2}\le u_{n+1}\le 2, en particulier 0≤un+1≤20\le u_{n+1}\le 2. La propriété est héréditaire.
Monotonie. un+12−un2=(un+2)−un2=−(un−2)(un+1)≥0u_{n+1}^2-u_n^2=(u_n+2)-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0 car 0≤un≤20\le u_n\le 2. Les termes étant positifs, un+1≥unu_{n+1}\ge u_n : (un)(u_n) est croissante.
Convergence. (un)(u_n) est croissante et majorée par 22, donc elle converge vers un réel ℓ\ell.
Limite. f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} est continue sur [0,2][0,2], donc ℓ=ℓ+2\ell=\sqrt{\ell+2}, soit ℓ2−ℓ−2=0\ell^2-\ell-2=0, (ℓ−2)(ℓ+1)=0(\ell-2)(\ell+1)=0. Comme ℓ∈[0,2]\ell\in[0,2], ℓ=2\ell=2.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique, u0=5u_0=5 et q=12q=\frac{1}{2}. Calculer u4u_4 et ∑k=04uk\displaystyle\sum_{k=0}^{4}u_k.
Voir la correction
u4=5×(12)4=516u_4=5\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\dfrac{5}{16}. Somme des 5 premiers termes : S=u01−q51−q=5×1−13212=5×3116=15516S=u_0\dfrac{1-q^{5}}{1-q}=5\times\dfrac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=5\times\dfrac{31}{16}=\dfrac{155}{16}.

Exercice 2

Moyen
(un)(u_n) : u0=3u_0=3, un+1=12un+1u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1. On pose vn=un−2v_n=u_n-2. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique, en déduire unu_n puis lim⁡un\lim u_n.
Voir la correction
vn+1=12un+1−2=12(un−2)=12vnv_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1-2=\frac{1}{2}(u_n-2)=\frac{1}{2}v_n : (vn)(v_n) est géométrique de raison 12\frac{1}{2}, v0=1v_0=1. Donc vn=(12)nv_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n et un=2+(12)nu_n=2+\left(\frac{1}{2}\right)^n. Comme (12)n→0\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0, lim⁡un=2\lim u_n=2.

Exercice 3

Difficile
(un)(u_n) : u0=1u_0=1, un+1=3un+2un+2u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}. Montrer par récurrence que 1≤un≤21\le u_n\le 2, puis que (un)(u_n) est croissante.
Voir la correction
Encadrement. u0=1∈[1,2]u_0=1\in[1,2]. Si 1≤un≤21\le u_n\le 2 : un+1−1=2unun+2>0u_{n+1}-1=\dfrac{2u_n}{u_n+2}>0 et un+1−2=un−2un+2≤0u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\le 0, donc 1≤un+1≤21\le u_{n+1}\le 2. Monotonie. un+1−un=−(un−2)(un+1)un+2≥0u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n-2)(u_n+1)}{u_n+2}\ge 0 pour 1≤un≤21\le u_n\le 2 : la suite est croissante.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître qu'il faut une suite auxiliaire géométrique ?

Quand la suite est de la forme uₙ₊₁ = a·uₙ + b (avec a ≠ 1) : on pose vₙ = uₙ − ℓ où ℓ est le point fixe (ℓ = aℓ + b), et (vₙ) est géométrique de raison a. C'est le schéma le plus fréquent à l'épreuve PC.

Le théorème de la limite monotone donne-t-il la valeur de la limite ?

Non : il donne seulement l'existence. Pour la valeur, on utilise la continuité de f et on résout ℓ = f(ℓ), en gardant la solution compatible avec l'encadrement démontré.

Faut-il toujours démontrer la monotonie par récurrence ?

Pas toujours : le signe de uₙ₊₁ − uₙ (ou du rapport uₙ₊₁/uₙ) suffit souvent après factorisation. La récurrence est utile quand la monotonie dépend de l'encadrement de uₙ.

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