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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Limites et continuité — Cours Maths Bac PC

Le premier chapitre d'analyse du programme PC : calculer une limite, lever une forme indéterminée, déterminer les asymptotes d'une courbe et exploiter la continuité, notamment le théorème des valeurs intermédiaires.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7 en Bac PC, à égalité avec la Physique-Chimie. Les limites ouvrent le programme d'analyse (11 chapitres) et sont réinvesties dans l'étude des fonctions, les fonctions logarithme et exponentielle, et le calcul intégral. Ce programme ne comporte ni arithmétique ni structures algébriques, réservées aux filières SM.

À l'épreuve

Rarement un exercice isolé : les limites sont demandées à l'intérieur d'une étude de fonction (branches infinies, asymptotes) et le théorème des valeurs intermédiaires sert à justifier l'existence — souvent l'unicité — d'une solution de l'équation f(x) = 0, parfois avec un encadrement obtenu par balayage.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite en un réel ou en l'infini à partir des limites usuelles et des opérations sur les limites
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞ et 0×∞ par factorisation, quantité conjuguée ou terme dominant
  • Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques d'une courbe
  • Étudier la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle, reconnaître un prolongement par continuité
  • Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles et opérations

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0, lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty. Pour une fonction rationnelle, la limite en ±∞\pm\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

Quatre cas : 00\dfrac{0}{0}, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty et 0×∞0\times\infty. On les lève en factorisant par le terme dominant, en multipliant par la quantité conjuguée (racines), ou en reconnaissant un taux d'accroissement (lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a))\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\right).

Asymptotes

Verticale x=ax=a si lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty. Horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡x→±∞f(x)=ℓ\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell. Oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡x→±∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0, avec a=lim⁡f(x)xa=\lim\frac{f(x)}{x} puis b=lim⁡(f(x)−ax)b=\lim\big(f(x)-ax\big).

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et kk est compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors f(x)=kf(x)=k admet au moins une solution dans [a,b][a,b]. Si de plus ff est strictement monotone, cette solution est unique.

Image d'un intervalle par une fonction continue

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si ff est continue et strictement croissante sur [a;b][a ; b], alors f([a;b])=[f(a);f(b)]f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)] ; si elle est strictement décroissante, f([a;b])=[f(b);f(a)]f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)]. Sur un intervalle ouvert ou non borné, on remplace les valeurs aux bornes par les limites : pour ff croissante sur ]a;b[]a ; b[, f(]a;b[)= ]lim⁡af;lim⁡bf[f(]a ; b[) = \,]\lim_a f ; \lim_b f[. Exemple : f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x est continue et croissante sur [1;3][1 ; 3] (car f′(x)=2x−2≥0f'(x) = 2x - 2 \ge 0), donc f([1;3])=[−1;3]f([1 ; 3]) = [-1 ; 3].

Erreurs fréquentes

1
Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : c'est une forme indéterminée, il faut factoriser ou conjuguer avant de conclure.
2
Appliquer le TVI sans avoir vérifié la continuité de f sur tout l'intervalle.
3
Conclure à l'unicité de la solution sans la stricte monotonie : le TVI seul ne donne que l'existence.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit f(x)=2x2−3x+1x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) puis lim⁡x→1f(x)\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x).

Correction

Limite en +∞+\infty. On factorise par x2x^2 : f(x)=2−3x+1x21−1x2f(x)=\dfrac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}. Les termes en 1x\frac{1}{x} et 1x2\frac{1}{x^2} tendent vers 00, donc lim⁡x→+∞f(x)=21=2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{2}{1}=2 (asymptote horizontale y=2y=2).
Limite en 11. Forme 00\frac{0}{0}. On factorise : 2x2−3x+1=(x−1)(2x−1)2x^2-3x+1=(x-1)(2x-1) et x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1).
Pour x≠1x\neq 1 : f(x)=(x−1)(2x−1)(x−1)(x+1)=2x−1x+1f(x)=\dfrac{(x-1)(2x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2x-1}{x+1}.
D'où lim⁡x→1f(x)=2(1)−11+1=12\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{2(1)-1}{1+1}=\dfrac{1}{2} : ff se prolonge par continuité en 11 par la valeur 12\frac{1}{2}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞(x2+x−x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).
Voir la correction
Forme ∞−∞\infty-\infty. Quantité conjuguée : x2+x−x=(x2+x)−x2x2+x+x=xx2+x+x\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. Pour x>0x>0, on factorise par xx : =11+1x+1→x→+∞12=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{1}{2}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'asymptote oblique de g(x)=x2+x+1x−1g(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-1} en +∞+\infty.
Voir la correction
Division : x2+x+1=(x−1)(x+2)+3x^2+x+1=(x-1)(x+2)+3, donc g(x)=x+2+3x−1g(x)=x+2+\dfrac{3}{x-1}. Comme lim⁡x→+∞3x−1=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x-1}=0, la droite y=x+2y=x+2 est asymptote oblique à la courbe en +∞+\infty (et en −∞-\infty).

Exercice 3

Difficile
Montrer que l'équation x3+x−1=0x^3+x-1=0 admet une unique solution réelle α\alpha, et que α∈ ]0 ;1[\alpha\in\,]0\,;1[.
Voir la correction
h(x)=x3+x−1h(x)=x^3+x-1 est un polynôme, donc continue et dérivable sur R\mathbb{R}, et h′(x)=3x2+1>0h'(x)=3x^2+1>0 : hh est strictement croissante. h(0)=−1<0h(0)=-1<0, h(1)=1>0h(1)=1>0 et 00 est entre les deux : par le TVI (continue + strictement monotone), il existe une unique solution α\alpha, avec α∈ ]0 ;1[\alpha\in\,]0\,;1[.

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Questions fréquentes

Quelle méthode pour la limite d'une fonction rationnelle en l'infini ?

On garde le quotient des termes de plus haut degré. Degrés égaux : limite = quotient des coefficients dominants ; degré du numérateur plus grand : limite ±∞ ; plus petit : limite 0.

Le théorème des valeurs intermédiaires est-il au programme de PC ?

Oui, c'est un résultat central de l'analyse en Bac PC. Il sert surtout à justifier qu'une équation f(x) = 0 a une solution sur un intervalle, avant d'en donner un encadrement ou une valeur approchée.

Continue et dérivable, quelle différence ?

Toute fonction dérivable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse (x ↦ |x| est continue en 0 sans y être dérivable). On justifie la continuité avant d'appliquer le TVI, la dérivabilité avant d'étudier les variations.

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