Fonctions primitives — Cours Maths Bac PC

Q: Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur doit être la dérivée du dénominateur, éventuellement à un coefficient constant près qu'on sort de la fraction. La primitive est alors ln|u| (multipliée par ce coefficient).

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. Chapitre-charnière : il transforme la dérivation en son opération inverse et conditionne directement le calcul intégral (une intégrale se calcule avec une primitive) et la résolution des équations différentielles du programme PC.

À l'épreuve

Rarement isolé : on demande une primitive au début d'un exercice de calcul intégral, ou « la primitive F de f telle que F(0) = 1 ». Les formes u′/u (qui donne ln|u|) et u′eᵘ sont les plus fréquentes en PC.

Objectifs d'apprentissage

Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre par dérivation
Donner une primitive d'une combinaison de fonctions usuelles
Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′/√u et u′eᵘ
Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale en ajustant la constante
Préciser l'intervalle sur lequel la primitive est valable

Notions clés

Définition et unicité

F

est une primitive de

f

sur un intervalle

I

F'=f

sur

I

. Deux primitives de

f

sur

I

diffèrent d'une constante : elles s'écrivent

F+k

k\in\mathbb{R}

. Une condition

F(x_0)=y_0

fixe

k

Primitives usuelles

x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(

n\neq -1

\dfrac{1}{x}\to\ln|x|

e^x\to e^x

\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to 2\sqrt{x}

\dfrac{1}{x^2}\to -\dfrac{1}{x}

Formes composées

u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}

(

n\neq -1

\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|

\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\to 2\sqrt{u}

u'e^{u}\to e^{u}

. On repère la dérivée « intérieure »

u'

en facteur, au besoin en ajustant un coefficient constant.

Erreurs fréquentes

Écrire une primitive de 1/x sous la forme ln x sans valeur absolue : c'est ln|x|, avec l'intervalle précisé.

Oublier la constante + k, ou ne pas l'ajuster avec la condition initiale demandée.

Appliquer u′uⁿ → uⁿ⁺¹/(n+1) alors que le facteur u′ n'est pas présent (même à un coefficient près).

Exemple corrigé

Énoncé

Déterminer la primitive

F

f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}+3e^{3x}

sur

\mathbb{R}

telle que

F(0)=2

Correction

Premier terme.

\dfrac{2x}{x^2+1}

est de la forme

\dfrac{u'}{u}

avec

u=x^2+1>0

: primitive

\ln(x^2+1)

Second terme.

3e^{3x}

est de la forme

u'e^{u}

avec

u=3x

: primitive

e^{3x}

Primitive générale.

F(x)=\ln(x^2+1)+e^{3x}+k

Condition.

F(0)=0+1+k=2

, donc

k=1

F(x)=\ln(x^2+1)+e^{3x}+1

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Donner une primitive de

f(x)=4x^3-\dfrac{1}{x^2}+e^x

sur

]0,+\infty[

Voir la correction

F(x)=x^4+\dfrac{1}{x}+e^x

. Vérification :

\big(x^4\big)'=4x^3

\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}

(e^x)'=e^x

Exercice 2

Moyen

Déterminer une primitive de

g(x)=x\,e^{x^2}

sur

\mathbb{R}

Voir la correction

Avec

u=x^2

u'=2x

g(x)=\dfrac{1}{2}\cdot 2x\,e^{x^2}=\dfrac{1}{2}u'e^{u}

. Une primitive est

G(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2}

Exercice 3

Difficile

Déterminer une primitive de

h(x)=\dfrac{\ln x}{x}

sur

]0,+\infty[

Voir la correction

Avec

u=\ln x

u'=\dfrac{1}{x}

h(x)=u'\times u

, forme

u'u^1

. Primitive :

H(x)=\dfrac{(\ln x)^2}{2}

. Vérification :

H'(x)=\dfrac{2\ln x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln x}{x}

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Questions fréquentes

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Au Bac, les fonctions sont continues sur leur domaine ; la difficulté est de trouver une expression explicite.

Pourquoi ln|x| et pas ln x ?

Parce que 1/x est aussi définie pour x < 0, et (ln|x|)′ = 1/x sur ]−∞,0[ comme sur ]0,+∞[. On garde la valeur absolue en précisant l'intervalle de travail.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur doit être la dérivée du dénominateur, éventuellement à un coefficient constant près qu'on sort de la fraction. La primitive est alors ln|u| (multipliée par ce coefficient).