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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac PC

Le cœur de l'analyse en PC : calculer f′, en étudier le signe pour dresser le tableau de variations, trouver les extremums et écrire l'équation d'une tangente.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. C'est le chapitre le plus transversal : la dérivation sert dans l'étude de ln et exp, dans le calcul intégral (primitive = anti-dérivée) et pour justifier l'unicité d'une solution avec le TVI. Elle nourrit aussi la cinématique en Physique (v = x′, a = v′), mais l'épreuve de maths l'évalue sur des fonctions.

À l'épreuve

Presque tout exercice d'analyse commence par : domaine, calcul de f′, signe de f′ (souvent après factorisation ou via une fonction auxiliaire), tableau de variations, limites aux bornes. L'équation de la tangente et l'étude de la position courbe/tangente reviennent régulièrement.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une composée
  • Étudier le signe de f′ et en déduire le tableau de variations de f
  • Déterminer les extremums locaux à partir des changements de signe de f′
  • Écrire l'équation de la tangente en un point et étudier la position courbe/tangente
  • Mener une étude de fonction complète, du domaine au tracé

Notions clés

Dérivées usuelles et opérations

(xn)′=nxn−1(x^n)'=n x^{n-1}, (x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (ex)′=ex(e^x)'=e^x. (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, (f∘u)′=u′×(f′∘u)\big(f\circ u\big)'=u'\times(f'\circ u).

Variations et extremums

Sur un intervalle : f′≥0⇒ff'\ge 0\Rightarrow f croissante ; f′≤0⇒ff'\le 0\Rightarrow f décroissante. Si f′f' s'annule en x0x_0 en changeant de signe, ff présente un extremum local en x0x_0.

Tangente

La tangente au point d'abscisse aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a). La position courbe/tangente s'étudie par le signe de f(x)−[f′(a)(x−a)+f(a)]f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big].

Erreurs fréquentes

1

Confondre le signe de f et celui de f′ : c'est f′ qui donne les variations de f.

2

Conclure à un extremum dès que f′(x₀) = 0 : il faut un changement de signe de f′.

3

Se tromper dans la dérivée d'un quotient : c'est u′v − uv′ au numérateur, dans cet ordre.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit f(x)=x2−3x−1f(x)=\dfrac{x^2-3}{x-1} sur R∖{1}\mathbb{R}\setminus\{1\}. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et décrire les variations.

Correction

Dérivée (quotient). u=x2−3u=x^2-3, u′=2xu'=2x ; v=x−1v=x-1, v′=1v'=1. f′(x)=2x(x−1)−(x2−3)(x−1)2=x2−2x+3(x−1)2f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2-3)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x+3}{(x-1)^2}.
Signe. (x−1)2>0(x-1)^2>0. Au numérateur, x2−2x+3x^2-2x+3 a pour discriminant Δ=4−12=−8<0\Delta=4-12=-8<0 et un coefficient dominant positif : il est strictement positif pour tout xx.
Conclusion. f′(x)>0f'(x)>0 sur ]−∞,1[]-\infty,1[ et sur ]1,+∞[]1,+\infty[ : ff est strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2x au point d'abscisse a=1a=1.
Voir la correction
f(1)=1−2=−1f(1)=1-2=-1 ; f′(x)=3x2−2f'(x)=3x^2-2, donc f′(1)=1f'(1)=1. Tangente : y=1⋅(x−1)−1=x−2y=1\cdot(x-1)-1=x-2.

Exercice 2

Moyen
Soit f(x)=(x2−2x)exf(x)=(x^2-2x)e^{x}. Calculer f′(x)f'(x) et déterminer les abscisses des extremums locaux.
Voir la correction
f′(x)=(2x−2)ex+(x2−2x)ex=(x2−2)exf'(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x=\big(x^2-2\big)e^x, du signe de x2−2x^2-2. Extremums : maximum local en x=−2x=-\sqrt2, minimum local en x=2x=\sqrt2.

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=x+2+1x−1f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-1} sur ]1,+∞[]1,+\infty[. Montrer que ff admet un minimum et le calculer.
Voir la correction
f′(x)=1−1(x−1)2=(x−1)2−1(x−1)2=x(x−2)(x−1)2f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}. Sur ]1,+∞[]1,+\infty[, x>0x>0 et (x−1)2>0(x-1)^2>0, donc f′f' a le signe de x−2x-2 : ff décroît sur ]1,2]]1,2], croît sur [2,+∞[[2,+\infty[. Minimum en x=2x=2 : f(2)=2+2+1=5f(2)=2+2+1=5.

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Questions fréquentes

Comment étudier le signe de f′ quand ce n'est pas un polynôme simple ?

On factorise au maximum ; sinon on introduit une fonction auxiliaire g (souvent le numérateur de f′), on étudie ses variations et son signe, puis on en déduit celui de f′.

f′(x₀) = 0 implique-t-il un extremum ?

Non. Il faut que f′ change de signe en x₀. Par exemple f(x) = x³ vérifie f′(0) = 0 mais n'a pas d'extremum : f′ reste positive de part et d'autre.

À quoi sert l'étude position courbe/tangente ?

Elle précise la convexité locale et sert à encadrer f près d'un point. On étudie le signe de d(x) = f(x) − T(x) où T est l'équation de la tangente ; d(x) ≥ 0 signifie « courbe au-dessus de la tangente ».

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