Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. C'est le chapitre le plus transversal : la dérivation sert dans l'étude de ln et exp, dans le calcul intégral (primitive = anti-dérivée) et pour justifier l'unicité d'une solution avec le TVI. Elle nourrit aussi la cinématique en Physique (v = x′, a = v′), mais l'épreuve de maths l'évalue sur des fonctions.

À l'épreuve

Presque tout exercice d'analyse commence par : domaine, calcul de f′, signe de f′ (souvent après factorisation ou via une fonction auxiliaire), tableau de variations, limites aux bornes. L'équation de la tangente et l'étude de la position courbe/tangente reviennent régulièrement.

Objectifs d'apprentissage

Calculer la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une composée
Étudier le signe de f′ et en déduire le tableau de variations de f
Déterminer les extremums locaux à partir des changements de signe de f′
Écrire l'équation de la tangente en un point et étudier la position courbe/tangente
Mener une étude de fonction complète, du domaine au tracé

Notions clés

Dérivées usuelles et opérations

(x^n)'=n x^{n-1}

\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}

(\ln x)'=\dfrac{1}{x}

(e^x)'=e^x

(uv)'=u'v+uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

\big(f\circ u\big)'=u'\times(f'\circ u)

Variations et extremums

Sur un intervalle :

f'\ge 0\Rightarrow f

croissante ;

f'\le 0\Rightarrow f

décroissante. Si

f'

s'annule en

x_0

en changeant de signe,

f

présente un extremum local en

x_0

Tangente

La tangente au point d'abscisse

a

a pour équation

y=f'(a)(x-a)+f(a)

. La position courbe/tangente s'étudie par le signe de

f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big]

Dérivée de la fonction réciproque

f

est continue, strictement monotone et dérivable sur

I

, et si

f'(x_0) \ne 0

, alors

f^{-1}

est dérivable en

y_0 = f(x_0)

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{f'\!\left(f^{-1}(y_0)\right)}

. Si

f'(x_0) = 0

, la courbe de

f^{-1}

admet une tangente verticale en

y_0

. Exemple :

f(x) = x^3 + x

est strictement croissante sur

\mathbb{R}

f(1) = 2

f'(1) = 4

, donc

\left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{4}

. Ce résultat donne aussi

\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}

pour

x > 0

Dérivée seconde, concavité et point d'inflexion

f'' \ge 0

sur un intervalle

I

, la courbe de

f

est convexe sur

I

: elle est au-dessus de ses tangentes. Si

f'' \le 0

, elle est concave : au-dessous de ses tangentes. Un point d'inflexion est un point où la concavité change : la courbe y traverse sa tangente, et

f''

s'annule en changeant de signe. Exemple :

f(x) = x^3 - 3x

a pour dérivée seconde

f''(x) = 6x

, négative pour

x < 0

et positive pour

x > 0

: le point

O(0 ; 0)

est un point d'inflexion.

Branches infinies et asymptotes

\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

, la droite

x = a

est asymptote verticale. Si

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

, la droite

y = b

est asymptote horizontale. Si

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty

, on étudie

\dfrac{f(x)}{x}

: s'il tend vers

\pm\infty

, la courbe a une branche parabolique de direction

(Oy)

; s'il tend vers 0, une branche parabolique de direction

(Ox)

; s'il tend vers un réel

a \ne 0

, on étudie

f(x) - ax

: une limite finie

b

donne l'asymptote oblique

y = ax + b

, une limite infinie une branche parabolique de direction

y = ax

. Exemple :

f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x}

admet l'asymptote oblique

y = x + 1

\pm\infty

et l'asymptote verticale

x = 0

Dérivabilité en un point et sur un intervalle

f

est dérivable en $a$ si

\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}

a une limite finie

\ell

quand

x \to a

; on note

f'(a) = \ell

, et la courbe admet en

a

la tangente

y = f'(a)(x - a) + f(a)

. On définit de même la dérivabilité à droite et à gauche :

f

est dérivable en

a

si elle l'est des deux côtés avec le même nombre dérivé.

f

est dérivable sur un intervalle si elle l'est en chacun de ses points. Une fonction dérivable en

a

est continue en

a

, mais la réciproque est fausse :

x \mapsto |x|

est continue en 0 sans y être dérivable. Exemple : pour

f(x) = \sqrt{x}

\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty

0^+

f

n'est pas dérivable en 0 et sa courbe y a une demi-tangente verticale.

Erreurs fréquentes

Confondre le signe de f et celui de f′ : c'est f′ qui donne les variations de f.

Conclure à un extremum dès que f′(x₀) = 0 : il faut un changement de signe de f′.

Se tromper dans la dérivée d'un quotient : c'est u′v − uv′ au numérateur, dans cet ordre.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit

f(x)=\dfrac{x^2-3}{x-1}

sur

\mathbb{R}\setminus\{1\}

. Calculer

f'(x)

, étudier son signe et décrire les variations.

Correction

Dérivée (quotient).

u=x^2-3

u'=2x

;

v=x-1

v'=1

f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2-3)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x+3}{(x-1)^2}

Signe.

(x-1)^2>0

. Au numérateur,

x^2-2x+3

a pour discriminant

\Delta=4-12=-8<0

et un coefficient dominant positif : il est strictement positif pour tout

x

Conclusion.

f'(x)>0

sur

]-\infty,1[

et sur

]1,+\infty[

f

est strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Écrire l'équation de la tangente à la courbe de

f(x)=x^3-2x

au point d'abscisse

a=1

Voir la correction

f(1)=1-2=-1

;

f'(x)=3x^2-2

, donc

f'(1)=1

. Tangente :

y=1\cdot(x-1)-1=x-2

Exercice 2

Moyen

Soit

f(x)=(x^2-2x)e^{x}

. Calculer

f'(x)

et déterminer les abscisses des extremums locaux.

Voir la correction

f'(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x=\big(x^2-2\big)e^x

, du signe de

x^2-2

. Extremums : maximum local en

x=-\sqrt2

, minimum local en

x=\sqrt2

Exercice 3

Difficile

Soit

f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-1}

sur

]1,+\infty[

. Montrer que

f

admet un minimum et le calculer.

Voir la correction

f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}

. Sur

]1,+\infty[

x>0

(x-1)^2>0

, donc

f'

a le signe de

x-2

f

décroît sur

]1,2]

, croît sur

[2,+\infty[

. Minimum en

x=2

f(2)=2+2+1=5

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Questions fréquentes

Comment étudier le signe de f′ quand ce n'est pas un polynôme simple ?

On factorise au maximum ; sinon on introduit une fonction auxiliaire g (souvent le numérateur de f′), on étudie ses variations et son signe, puis on en déduit celui de f′.

f′(x₀) = 0 implique-t-il un extremum ?

Non. Il faut que f′ change de signe en x₀. Par exemple f(x) = x³ vérifie f′(0) = 0 mais n'a pas d'extremum : f′ reste positive de part et d'autre.

À quoi sert l'étude position courbe/tangente ?

Elle précise la convexité locale et sert à encadrer f près d'un point. On étudie le signe de d(x) = f(x) − T(x) où T est l'équation de la tangente ; d(x) ≥ 0 signifie « courbe au-dessus de la tangente ».