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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Calcul intégral — Cours Maths Bac PC

Calculer une intégrale à partir d'une primitive, utiliser la linéarité et Chasles, l'intégration par parties, et interpréter l'intégrale comme une aire ou une valeur moyenne.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. Aboutissement du bloc analyse : il s'appuie sur les primitives et sur ln/exp. En PC, l'intégrale sert aussi en Physique (travail d'une force, quantité d'électricité q = ∫ i dt), mais l'épreuve de maths évalue le calcul lui-même et l'aire.

À l'épreuve

Un exercice complet fréquent : étude d'une fonction, puis calcul d'une intégrale (souvent par parties, avec ln ou eˣ), puis interprétation en aire d'un domaine délimité par la courbe et des droites, ou calcul d'une valeur moyenne.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive et des crochets [F(x)]
  • Utiliser la linéarité et la relation de Chasles
  • Mener une intégration par parties en choisissant correctement les facteurs
  • Calculer l'aire d'un domaine délimité par une ou deux courbes
  • Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Notions clés

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff (continue) sur [a,b][a,b] : ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a). On a ∫aaf=0\int_a^a f=0, ∫baf=−∫abf\int_b^a f=-\int_a^b f, la linéarité, et Chasles : ∫acf=∫abf+∫bcf\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f.

Intégration par parties

Pour u,vu,v de classe C1C^1 sur [a,b][a,b] : ∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx\displaystyle\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx. On choisit vv pour que v′v' se simplifie (ex. v=ln⁡xv=\ln x, ou vv polynôme).

Aire et valeur moyenne

Si f≥0f\ge 0 sur [a,b][a,b], ∫abf\int_a^b f est l'aire (en u.a.) sous la courbe. Aire entre f≥gf\ge g : ∫ab(f−g)\int_a^b\big(f-g\big). Valeur moyenne de ff : μ=1b−a∫abf(x) dx\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.

Volume d'un solide de révolution

Si ff est continue sur [a;b][a ; b], la rotation de sa courbe autour de l'axe (Ox)(Ox) engendre un solide dont le volume vaut V=∫abπ f(x)2 dxV = \int_a^b \pi\,f(x)^2\,dx (en unités de volume). Exemple : pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x} sur [0;4][0 ; 4], V=π∫04x dx=π[x22]04=8πV = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi. Avec f(x)=rf(x) = r constante sur [0;h][0 ; h], on retrouve le volume d'un cylindre, πr2h\pi r^2 h.

Erreurs fréquentes

1
Intégrer sur un intervalle où f n'est pas continue (ex. 1/x sur un intervalle contenant 0).
2
Oublier le signe : si f ≤ 0 sur [a,b], l'aire vaut −∫ₐᵇ f, pas ∫ₐᵇ f.
3
Dans l'IPP, se tromper de facteur à primitiver / dériver, ou oublier le crochet [uv]ₐᵇ.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer I=∫1eln⁡x dx\displaystyle I=\int_1^{e}\ln x\,dx.

Correction

Choix pour l'IPP. On écrit ln⁡x=1×ln⁡x\ln x=1\times\ln x : u′(x)=1u'(x)=1 donc u(x)=xu(x)=x ; v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x donc v′(x)=1xv'(x)=\dfrac{1}{x}.
Formule. I=[xln⁡x]1e−∫1ex⋅1x dx=[xln⁡x]1e−∫1e1 dxI=\big[x\ln x\big]_1^{e}-\displaystyle\int_1^{e}x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=\big[x\ln x\big]_1^{e}-\int_1^{e}1\,dx.
Crochets. [xln⁡x]1e=eln⁡e−1⋅ln⁡1=e\big[x\ln x\big]_1^{e}=e\ln e-1\cdot\ln 1=e. ∫1e1 dx=e−1\displaystyle\int_1^{e}1\,dx=e-1.
Conclusion. I=e−(e−1)=1I=e-(e-1)=1.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer ∫01(3x2−2x+1) dx\displaystyle\int_0^{1}\big(3x^2-2x+1\big)\,dx.
Voir la correction
Une primitive est x3−x2+xx^3-x^2+x. L'intégrale vaut [x3−x2+x]01=(1−1+1)−0=1\big[x^3-x^2+x\big]_0^{1}=(1-1+1)-0=1.

Exercice 2

Moyen
Calculer J=∫01x ex dx\displaystyle J=\int_0^{1}x\,e^{x}\,dx par une intégration par parties.
Voir la correction
u′(x)=exu'(x)=e^x (donc u(x)=exu(x)=e^x), v(x)=xv(x)=x (donc v′(x)=1v'(x)=1). J=[xex]01−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1J=\big[x e^x\big]_0^{1}-\displaystyle\int_0^{1}e^x\,dx=e-\big[e^x\big]_0^{1}=e-(e-1)=1.

Exercice 3

Difficile
Calculer l'aire, en u.a., du domaine délimité par la courbe de f(x)=4xx2+1f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}, l'axe des abscisses et les droites x=0x=0 et x=1x=1.
Voir la correction
Sur [0,1][0,1], f≥0f\ge 0, donc l'aire vaut ∫014xx2+1 dx\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{4x}{x^2+1}\,dx. Le numérateur est 2×(x2+1)′2\times(x^2+1)', primitive 2ln⁡(x2+1)2\ln(x^2+1). Aire =[2ln⁡(x2+1)]01=2ln⁡2=\big[2\ln(x^2+1)\big]_0^{1}=2\ln 2 (u.a.).

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Questions fréquentes

Quand faut-il une intégration par parties ?

Pour un produit dont un facteur se simplifie en dérivant : x·eˣ, x·ln x, ln x (vu comme 1 × ln x), x·cos x. On dérive le facteur polynôme ou ln x, on primitive l'autre.

L'intégrale peut-elle être négative ?

Oui, si f prend des valeurs négatives sur l'intervalle. L'intégrale est une somme algébrique d'aires ; l'aire géométrique d'un domaine où f ≤ 0 vaut −∫ₐᵇ f.

Qu'est-ce qu'une unité d'aire (u.a.) ?

C'est l'aire du rectangle bâti sur les vecteurs unités des deux axes. Les résultats d'aire s'expriment en u.a. tant que l'énoncé ne donne pas d'échelle en cm.

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