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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Fonctions primitives — Cours Maths Bac Éco

Retrouver une fonction à partir de sa dérivée : primitives usuelles, formes u′f(u), condition initiale — et l'application économique : reconstituer un coût (ou une recette) total à partir de sa version marginale.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Les primitives font le lien avec le calcul intégral et permettent de « remonter » du marginal au total : $C(x)=\int Cm(x)\,dx$, la constante étant fixée par les coûts fixes $C(0)$.

À l'épreuve

Déterminer un coût total à partir du coût marginal et des coûts fixes, une recette à partir de la recette marginale, ou une primitive vérifiant une condition donnée ; reconnaissance des formes u′/u et u′eᵘ.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser la définition : F est une primitive de f si F′ = f
  • Connaître les primitives usuelles (puissances, 1/x, eˣ)
  • Reconnaître les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ
  • Déterminer la primitive vérifiant F(x₀) = y₀
  • Reconstituer un coût ou une recette total(e) à partir de sa forme marginale

Notions clés

Définition et unicité

FF est une primitive de ff sur II si F′=fF'=f. Sur un intervalle, deux primitives diffèrent d'une constante.

Primitives usuelles

xn→xn+1n+1x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (n≠−1n\neq-1), 1x→ln⁡∣x∣\dfrac1x\to\ln|x|, ex→exe^x\to e^x.

Formes composées

u′u→ln⁡∣u∣\dfrac{u'}{u}\to\ln|u|,   u′eu→eu\;u'e^{u}\to e^{u},   u′un→un+1n+1\;u'u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}.

Du marginal au total

Si Cm(x)=C′(x)Cm(x)=C'(x) est connu, alors C(x)=∫Cm(x) dx+kC(x)=\displaystyle\int Cm(x)\,dx + k, et la constante kk vaut les coûts fixes C(0)C(0).

Erreurs fréquentes

1

Oublier la constante quand on cherche « une primitive » sans condition.

2

Confondre u′/u (→ ln|u|) et u′uⁿ.

3

Fixer la constante avec autre chose que les coûts fixes C(0).

4

Écrire ln x au lieu de ln|x| sur un intervalle où x < 0.

Exemple corrigé

Énoncé

Le coût marginal est Cm(x)=3x2−8x+10Cm(x)=3x^2-8x+10 et les coûts fixes valent C(0)=60C(0)=60. Déterminer le coût total C(x)C(x).

Correction

CC est une primitive de CmCm : C(x)=∫(3x2−8x+10) dx=x3−4x2+10x+kC(x)=\displaystyle\int(3x^2-8x+10)\,dx=x^3-4x^2+10x+k.
La constante kk est fixée par les coûts fixes : C(0)=k=60C(0)=k=60.
Donc C(x)=x3−4x2+10x+60C(x)=x^3-4x^2+10x+60.
Vérification : C′(x)=3x2−8x+10=Cm(x)C'(x)=3x^2-8x+10=Cm(x) et C(0)=60C(0)=60.

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Exercice 1

Facile
Déterminer la primitive FF de f(x)=4x3−2x+3f(x)=4x^3-2x+3 telle que F(0)=1F(0)=1.
Voir la correction
F(x)=x4−x2+3x+cF(x)=x^4-x^2+3x+c. F(0)=c=1F(0)=c=1, donc F(x)=x4−x2+3x+1F(x)=x^4-x^2+3x+1.

Exercice 2

Moyen
Déterminer une primitive de f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} sur R\mathbb{R}.
Voir la correction
f(x)=12⋅2xx2+1=12u′uf(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac12\dfrac{u'}{u} avec u=x2+1>0u=x^2+1>0. Une primitive est F(x)=12ln⁡(x2+1)F(x)=\dfrac12\ln(x^2+1).

Exercice 3

Difficile
La recette marginale est Rm(x)=100−4xRm(x)=100-4x et R(0)=0R(0)=0. Déterminer la recette totale R(x)R(x), puis la quantité qui la maximise.
Voir la correction
R(x)=∫(100−4x) dx=100x−2x2+kR(x)=\displaystyle\int(100-4x)\,dx=100x-2x^2+k, et R(0)=k=0R(0)=k=0, donc R(x)=100x−2x2R(x)=100x-2x^2. R′(x)=Rm(x)=100−4x=0  ⟺  x=25R'(x)=Rm(x)=100-4x=0 \iff x=25, avec R′>0R'>0 avant et R′<0R'<0 après : maximum en x=25x=25, R(25)=2500−1250=1250R(25)=2500-1250=1250.

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Questions fréquentes

Comment retrouver un coût total à partir du coût marginal ?

On intègre le coût marginal (on cherche une primitive), et on fixe la constante d'intégration à l'aide des coûts fixes C(0).

Toute fonction admet-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Les fonctions de coût, recette et profit du programme sont continues.

Comment reconnaître une forme u′/u ?

Le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur ; la primitive est alors ln|dénominateur|.

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