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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Calcul intégral — Cours Maths Bac Éco

De la primitive à l'intégrale : propriétés, intégration par parties, valeur moyenne, et l'aire comme outil économique — le surplus du consommateur.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Le calcul intégral clôt l'analyse : il sert à cumuler une grandeur marginale (coût, recette) sur un intervalle et à mesurer une aire économique (surplus).

À l'épreuve

Un calcul d'intégrale (dont une intégration par parties simple, type $\int\ln$ ou $\int x e^{x}$), une valeur moyenne, et le calcul d'un surplus du consommateur comme aire entre une courbe de demande et le prix.

Objectifs d'apprentissage

  • Relier intégrale et primitive : ∫ₐᵇ f(t) dt = F(b) − F(a)
  • Utiliser linéarité, relation de Chasles et positivité
  • Appliquer une intégration par parties simple
  • Calculer une valeur moyenne d'une grandeur sur un intervalle
  • Calculer un surplus du consommateur comme aire

Notions clés

Intégrale et primitive

Si FF est une primitive de ff continue sur [a,b][a,b] : ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).

Propriétés

Linéarité, Chasles (∫ac=∫ab+∫bc\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c), positivité (si f≥0f\ge 0 alors ∫abf≥0\int_a^b f\ge 0).

Intégration par parties

∫abu′v dt=[uv]ab−∫abuv′ dt\displaystyle\int_a^b u'v\,dt=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\,dt. Cas utiles : ∫ln⁡t dt\int\ln t\,dt (avec u′=1u'=1, v=ln⁡tv=\ln t) et ∫t et dt\int t\,e^{t}\,dt.

Valeur moyenne et surplus

Valeur moyenne : μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f. Surplus du consommateur au prix p∗p^{*} (quantité q∗q^{*}) pour une demande p=d(q)p=d(q) : ∫0q∗d(q) dq−p∗q∗\displaystyle\int_0^{q^{*}}d(q)\,dq - p^{*}q^{*}.

Erreurs fréquentes

1

Écrire ∫ fg = (∫ f)(∫ g).

2

Oublier le crochet [uv]ₐᵇ dans une intégration par parties.

3

Oublier de retrancher p*·q* dans le calcul du surplus.

4

Confondre aire et intégrale quand la fonction change de signe.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer ∫1eln⁡x dx\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx.

Correction

Intégration par parties : u′(x)=1u'(x)=1 et v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x, donc u(x)=xu(x)=x et v′(x)=1xv'(x)=\dfrac1x.
∫1eln⁡x dx=[xln⁡x]1e−∫1ex⋅1x dx\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx=\big[x\ln x\big]_1^{e}-\int_1^{e}x\cdot\dfrac1x\,dx.
[xln⁡x]1e=e×1−1×0=e\big[x\ln x\big]_1^{e}=e\times 1-1\times 0=e et ∫1e1 dx=e−1\displaystyle\int_1^{e}1\,dx=e-1.
∫1eln⁡x dx=e−(e−1)=1\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx=e-(e-1)=1.

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Exercice 1

Facile
Calculer ∫02(3x2−2x) dx\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x)\,dx et ∫1e1t dt\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{1}{t}\,dt.
Voir la correction
∫02(3x2−2x) dx=[x3−x2]02=8−4=4\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x)\,dx=\big[x^3-x^2\big]_0^2=8-4=4. ∫1edtt=[ln⁡t]1e=1\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{dt}{t}=\big[\ln t\big]_1^{e}=1.

Exercice 2

Moyen
Calculer ∫01x ex dx\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx.
Voir la correction
IPP : u′(x)=exu'(x)=e^{x}, v(x)=xv(x)=x, donc u(x)=exu(x)=e^{x}, v′(x)=1v'(x)=1. ∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=e−(e−1)=1\displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx=\big[x e^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}\,dx=e-(e-1)=1.

Exercice 3

Difficile
La fonction de demande est p=20−2qp=20-2q. Au prix d'équilibre p∗=8p^{*}=8, la quantité échangée est q∗=6q^{*}=6. Calculer le surplus du consommateur.
Voir la correction
Surplus =∫06(20−2q) dq−p∗q∗=[20q−q2]06−8×6=(120−36)−48=84−48=36=\displaystyle\int_0^{6}(20-2q)\,dq-p^{*}q^{*}=\big[20q-q^2\big]_0^{6}-8\times 6=(120-36)-48=84-48=36.

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Questions fréquentes

Quand utiliser l'intégration par parties ?

Quand l'intégrande est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant (ln t, tⁿ) et l'autre s'intègre facilement (eᵗ). Le cas ∫ ln x dx se traite avec u′ = 1 et v = ln x.

Qu'est-ce que le surplus du consommateur ?

L'écart entre ce que les consommateurs seraient prêts à payer (aire sous la courbe de demande jusqu'à q*) et ce qu'ils paient réellement (p*·q*). C'est une aire, donc une intégrale.

Comment calcule-t-on une valeur moyenne ?

μ = 1/(b − a) · ∫ₐᵇ f(t) dt : l'intégrale « lisse » la grandeur sur l'intervalle, par exemple un stock ou une production moyenne.

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