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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac Éco

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et son usage financier — calculer une durée de placement.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Le logarithme sert surtout, en Éco, à « inverser » une croissance géométrique : trouver au bout de combien de périodes un capital atteint un objectif.

À l'épreuve

Une équation du type $(1+t)^n=k$ résolue par le logarithme, une étude de fonction contenant $\ln$ (avec croissances comparées), ou une inéquation $\ln$ dont on cherche le plus petit entier solution.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Résoudre (1 + t)ⁿ = k en n grâce au logarithme
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u

Notions clés

Propriétés

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1. ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Limites

lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 (croissance comparée), lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0.

Résolution d'une croissance

(1+t)n=k  ⟺  nln⁡(1+t)=ln⁡k  ⟺  n=ln⁡kln⁡(1+t)(1+t)^n=k \iff n\ln(1+t)=\ln k \iff n=\dfrac{\ln k}{\ln(1+t)}. On arrondit à l'entier supérieur pour « atteindre au moins » l'objectif.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.

Le logarithme décimal et l'équation 10x=a10^x = a

Le logarithme décimal est log⁡x=ln⁡xln⁡10\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10} pour x>0x > 0 ; il vérifie log⁡(10x)=x\log(10^x) = x et log⁡10=1\log 10 = 1. Pour a>0a > 0, l'équation 10x=a10^x = a a donc une unique solution, x=log⁡ax = \log a. Exemple : 10x=25010^x = 250 donne x=log⁡250≈2,398x = \log 250 \approx 2{,}398. Application en mathématiques financières : un capital placé à intérêts composés au taux de 6 % double quand 1,06n=21{,}06^n = 2, soit n=log⁡2log⁡1,06≈11,9n = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}06} \approx 11{,}9 : il faut 12 ans.

Erreurs fréquentes

1
Résoudre une équation avec ln sans fixer le domaine (arguments > 0).
2
Écrire ln(a + b) = ln a + ln b.
3
Diviser par ln(1 + t) sans vérifier qu'il est positif (il l'est si t > 0).
4
Oublier d'arrondir au bon sens (entier supérieur pour « au moins »).

Exemple corrigé

Énoncé

Au bout de combien d'années un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 6%6\% est-il multiplié par 1,51{,}5 ?

Correction

On cherche le plus petit entier nn tel que (1,06)n≥1,5(1{,}06)^n\ge 1{,}5.
(1,06)n≥1,5  ⟺  nln⁡(1,06)≥ln⁡(1,5)(1{,}06)^n\ge 1{,}5 \iff n\ln(1{,}06)\ge\ln(1{,}5) (car ln⁡\ln est croissante).
ln⁡(1,06)>0\ln(1{,}06)>0, donc n≥ln⁡1,5ln⁡1,06≈0,4050,0583≈6,96n\ge\dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}06}\approx\dfrac{0{,}405}{0{,}0583}\approx 6{,}96.
Le plus petit entier convenable est n=7n=7 : il faut 77 années.

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(2x−1)=ln⁡(x+4)\ln(2x-1)=\ln(x+4).
Voir la correction
Domaine : x>12x>\tfrac12. L'équation équivaut à 2x−1=x+42x-1=x+4, soit x=5x=5. Comme 5>125>\tfrac12, S={5}S=\{5\}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer le plus petit entier nn tel que 2n≥10002^{n}\ge 1000.
Voir la correction
2n≥1000  ⟺  nln⁡2≥ln⁡1000  ⟺  n≥ln⁡1000ln⁡2≈6,9080,693≈9,972^{n}\ge 1000 \iff n\ln 2\ge\ln 1000 \iff n\ge\dfrac{\ln 1000}{\ln 2}\approx\dfrac{6{,}908}{0{,}693}\approx 9{,}97. Le plus petit entier est n=10n=10 (et en effet 210=1024≥10002^{10}=1024\ge 1000).

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=2ln⁡x−x+3f(x)=2\ln x-x+3 sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Étudier ses variations et son maximum.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty (car −x-x l'emporte sur 2ln⁡x2\ln x). f′(x)=2x−1=2−xxf'(x)=\dfrac{2}{x}-1=\dfrac{2-x}{x} : ff croît sur ]0,2]]0,2], décroît sur [2,+∞[[2,+\infty[, avec un maximum f(2)=2ln⁡2−2+3=2ln⁡2+1≈2,39f(2)=2\ln 2-2+3=2\ln 2+1\approx 2{,}39.

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Questions fréquentes

Comment trouver une durée de placement ?

On écrit l'objectif sous la forme (1 + t)ⁿ ≥ k, on passe au logarithme : n ≥ ln k / ln(1 + t), puis on arrondit à l'entier supérieur.

Pourquoi le sens de l'inégalité est-il conservé ?

Parce que ln est strictement croissante : a ≤ b équivaut à ln a ≤ ln b pour a, b > 0. Diviser par ln(1 + t) > 0 conserve aussi le sens.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. Cela permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

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