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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Suites numériques — Cours Maths Bac Éco

Suites arithmétiques et géométriques, récurrence, et leur usage financier : intérêts composés, plans d'épargne et valeur acquise d'une suite de versements.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Les suites sont le chapitre le plus directement réinvesti en Comptabilité et Mathématiques Financières : les intérêts composés forment une suite géométrique, les tableaux d'amortissement une suite récurrente.

À l'épreuve

Un capital placé à intérêts composés (suite géométrique $C_n=C_0(1+t)^n$), un plan d'épargne modélisé par $u_{n+1}=(1+t)u_n+a$ résolu via une suite auxiliaire, et le calcul d'une valeur acquise par somme géométrique.

Objectifs d'apprentissage

  • Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et calculer terme général et sommes
  • Modéliser des intérêts composés par une suite géométrique
  • Rédiger une démonstration par récurrence
  • Utiliser une suite auxiliaire wₙ = uₙ − ℓ pour expliciter une suite récurrente affine
  • Calculer la valeur acquise d'une suite de versements constants

Notions clés

Arithmétique et géométrique

Arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n=u_0+nr,   ∑k=0n−1uk=n(u0+un−1)2\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=\dfrac{n(u_0+u_{n-1})}{2}. Géométrique de raison qq : un=u0qnu_n=u_0q^n,   ∑k=0n−1uk=u01−qn1−q\;\sum_{k=0}^{n-1}u_k=u_0\dfrac{1-q^n}{1-q} (q≠1q\neq 1).

Intérêts composés

Un capital C0C_0 placé au taux tt par période donne Cn=C0(1+t)nC_n=C_0(1+t)^n : suite géométrique de raison 1+t1+t. Les intérêts acquis au bout de nn périodes valent Cn−C0C_n-C_0.

Suite récurrente affine

Si un+1=a un+bu_{n+1}=a\,u_n+b avec a≠1a\neq 1 : la suite wn=un−ℓw_n=u_n-\ell, où ℓ=b1−a\ell=\dfrac{b}{1-a}, est géométrique de raison aa. On explicite wnw_n puis unu_n.

Valeur acquise

nn versements de aa en fin de période, capitalisés au taux ii : le versement kk rapporte a(1+i)n−ka(1+i)^{n-k}. La valeur acquise est An=a(1+i)n−1iA_n=a\dfrac{(1+i)^n-1}{i} (somme géométrique).

Erreurs fréquentes

1

Confondre intérêts simples (suite arithmétique) et intérêts composés (suite géométrique).

2

Oublier l'initialisation dans une récurrence.

3

Utiliser la formule d'une somme géométrique avec q = 1.

4

Se tromper d'exposant dans la valeur acquise (n − k, pas k).

Exemple corrigé

Énoncé

Un capital de 80008000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 5%5\%. Exprimer CnC_n, calculer C4C_4 et le montant des intérêts au bout de 44 ans.

Correction

(Cn)(C_n) est géométrique de raison 1,051{,}05 et de premier terme C0=8000C_0=8000 : Cn=8000×(1,05)nC_n=8000\times(1{,}05)^n.
C4=8000×(1,05)4=8000×1,21550625C_4=8000\times(1{,}05)^4=8000\times 1{,}21550625.
C4=9724,05C_4=9724{,}05 DH (arrondi au centime).
Intérêts acquis : C4−C0=9724,05−8000=1724,05C_4-C_0=9724{,}05-8000=1724{,}05 DH.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=5u_0=5 et de raison q=3q=3. Calculer u6u_6 et S=u0+u1+⋯+u6S=u_0+u_1+\dots+u_6.
Voir la correction
u6=5×36=5×729=3645u_6=5\times 3^6=5\times 729=3645. S=u01−q71−q=5×1−21871−3=5×−2186−2=5×1093=5465S=u_0\dfrac{1-q^7}{1-q}=5\times\dfrac{1-2187}{1-3}=5\times\dfrac{-2186}{-2}=5\times 1093=5465.

Exercice 2

Moyen
Chaque fin d'année, on verse 10001000 DH sur un compte rémunéré à 5%5\%. On note unu_n le capital après le nn-ième versement, avec u0=0u_0=0 et un+1=1,05 un+1000u_{n+1}=1{,}05\,u_n+1000. Exprimer unu_n.
Voir la correction
Point fixe : ℓ=1,05ℓ+1000⇒ℓ=10001−1,05=−20000\ell=1{,}05\ell+1000 \Rightarrow \ell=\dfrac{1000}{1-1{,}05}=-20000. La suite wn=un+20000w_n=u_n+20000 vérifie wn+1=1,05 wnw_{n+1}=1{,}05\,w_n, donc est géométrique de raison 1,051{,}05, avec w0=20000w_0=20000. Ainsi wn=20000×(1,05)nw_n=20000\times(1{,}05)^n et un=20000((1,05)n−1)u_n=20000\big((1{,}05)^n-1\big). (Vérification : u1=20000×0,05=1000u_1=20000\times 0{,}05=1000.)

Exercice 3

Difficile
On effectue 1010 versements de 10001000 DH en fin d'année, à un taux annuel de 4%4\%. Établir la formule de la valeur acquise A10A_{10} et la calculer.
Voir la correction
Le versement effectué à la fin de l'année kk (1≤k≤101\le k\le 10) est capitalisé pendant 10−k10-k années : il vaut 1000×(1,04)10−k1000\times(1{,}04)^{10-k}. En sommant : A10=∑k=1101000 (1,04)10−k=1000∑j=09(1,04)j=1000×(1,04)10−10,04A_{10}=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}1000\,(1{,}04)^{10-k}=1000\sum_{j=0}^{9}(1{,}04)^{j}=1000\times\dfrac{(1{,}04)^{10}-1}{0{,}04}. Avec (1,04)10≈1,480244(1{,}04)^{10}\approx 1{,}480244 : A10≈1000×0,4802440,04≈12 006A_{10}\approx 1000\times\dfrac{0{,}480244}{0{,}04}\approx 12\,006 DH.

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Questions fréquentes

Intérêts simples ou composés, quelle suite ?

Intérêts simples : le capital augmente d'un montant fixe chaque période → suite arithmétique. Intérêts composés : il est multiplié par (1 + t) chaque période → suite géométrique.

Comment expliciter une suite uₙ₊₁ = a·uₙ + b ?

On calcule le point fixe ℓ = b/(1 − a), la suite wₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a, on explicite wₙ puis on revient à uₙ.

Qu'est-ce que la valeur acquise d'une suite de versements ?

La somme des versements chacun capitalisé jusqu'à la date finale. Pour n versements constants a au taux i : Aₙ = a·((1 + i)ⁿ − 1)/i.

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