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Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Limites et continuité — Cours Maths Bac Éco

Calculer une limite, lever une forme indéterminée, déterminer les asymptotes d'une courbe (par exemple un coût moyen à long terme) et exploiter la continuité via le TVI.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Les limites ouvrent le programme d'analyse et servent à décrire le comportement à long terme d'une fonction de coût, de recette ou de production.

À l'épreuve

Presque toujours à l'intérieur d'une étude de fonction : recherche des asymptotes d'un coût moyen $C(x)/x$, comportement en $+\infty$ d'une fonction économique, et usage du TVI pour justifier l'existence d'un seuil (de rentabilité, d'équilibre).

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite finie ou infinie à partir des limites usuelles et des opérations
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞ par factorisation ou terme dominant
  • Déterminer les asymptotes verticale, horizontale et oblique d'une courbe
  • Interpréter une asymptote en contexte économique (coût moyen limite, saturation)
  • Appliquer le TVI pour justifier l'existence d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles et opérations

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0. Pour une fonction rationnelle, la limite en +∞+\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty : on factorise par le terme dominant ou on simplifie une fraction après factorisation du numérateur et du dénominateur.

Asymptotes et interprétation

Horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡+∞f=ℓ\lim_{+\infty}f=\ell ; oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡+∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0. Pour un coût moyen CM(x)=C(x)xCM(x)=\dfrac{C(x)}{x}, l'asymptote donne le coût unitaire de long terme.

TVI

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et kk est entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors f(x)=kf(x)=k a au moins une solution ; si ff est de plus strictement monotone, elle est unique.

Erreurs fréquentes

1

Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : forme indéterminée à lever.

2

Appliquer le TVI sans avoir vérifié la continuité.

3

Conclure à l'unicité d'un seuil sans la stricte monotonie.

4

Confondre la limite du coût moyen et celle du coût total.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer lim⁡x→+∞2x2+3xx2−1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1} puis lim⁡x→1x2−1x−1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}.

Correction

Première limite. Quotient des termes de plus haut degré : 2x2x2=2\dfrac{2x^2}{x^2}=2, donc lim⁡x→+∞2x2+3xx2−1=2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1}=2.
Seconde limite. Forme 00\tfrac{0}{0}. On factorise : x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1).
Pour x≠1x\neq 1 : x2−1x−1=x+1\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1.
Donc lim⁡x→1x2−1x−1=2\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞5x2−2xx2+4\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2-2x}{x^2+4} et lim⁡x→+∞3x+1x2+1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+1}{x^2+1}.
Voir la correction
Quotient des termes dominants : 5x2x2→5\dfrac{5x^2}{x^2}\to 5 ; 3xx2=3x→0\dfrac{3x}{x^2}=\dfrac{3}{x}\to 0.

Exercice 2

Moyen
Le coût total est C(x)=0,5x2+20x+800C(x)=0{,}5x^2+20x+800 pour x>0x>0 unités. Déterminer l'asymptote oblique du coût moyen CM(x)=C(x)xCM(x)=\dfrac{C(x)}{x} et l'interpréter.
Voir la correction
CM(x)=0,5x+20+800xCM(x)=0{,}5x+20+\dfrac{800}{x}. Comme 800x→0\dfrac{800}{x}\to 0, la droite y=0,5x+20y=0{,}5x+20 est asymptote oblique en +∞+\infty. Interprétation : à grande échelle, le coût unitaire croît quasi linéairement, la part des coûts fixes (800800) devenant négligeable.

Exercice 3

Difficile
La recette est R(x)=30xR(x)=30x et le coût C(x)=x2+6x+90C(x)=x^2+6x+90. Montrer que l'équation R(x)=C(x)R(x)=C(x) admet une unique solution x0>0x_0>0 (seuil de rentabilité), et que 4<x0<54<x_0<5.
Voir la correction
Posons g(x)=R(x)−C(x)=−x2+24x−90g(x)=R(x)-C(x)=-x^2+24x-90 pour x≥0x\ge 0. gg est continue ; g′(x)=−2x+24g'(x)=-2x+24, donc gg croît sur [0,12][0,12] puis décroît. g(0)=−90<0g(0)=-90<0, g(4)=−16+96−90=−10<0g(4)=-16+96-90=-10<0, g(5)=−25+120−90=5>0g(5)=-25+120-90=5>0 : sur [4,5][4,5], gg est strictement croissante (car 4<124<12) et change de signe, donc par le TVI il existe un unique x0∈ ]4,5[x_0\in\,]4,5[ tel que g(x0)=0g(x_0)=0, c'est-à-dire R(x0)=C(x0)R(x_0)=C(x_0).

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Questions fréquentes

Limite d'une fonction rationnelle en +∞ ?

On garde le quotient des termes de plus haut degré : degrés égaux → quotient des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand → +∞ ; plus petit → 0.

Comment interpréter une asymptote en économie ?

L'asymptote d'un coût moyen décrit le coût unitaire quand la production devient très grande ; une asymptote horizontale d'une fonction de demande ou de part de marché traduit une saturation.

À quoi sert le TVI en Bac Éco ?

À prouver l'existence d'un seuil (rentabilité, équilibre) : une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois sur l'intervalle.

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