Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac Éco

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. La dérivation est l'outil d'optimisation de la filière : le coût marginal est $C'(x)$, l'optimum de production annule la dérivée du profit, et la convexité traduit les rendements croissants ou décroissants.

À l'épreuve

Une étude de fonction économique : coût marginal $C'(x)$, coût moyen $C(x)/x$ et son minimum (atteint quand coût marginal = coût moyen), fonction de profit $P(x)=R(x)-C(x)$ et sa valeur maximale, convexité et point d'inflexion.

Objectifs d'apprentissage

Dériver somme, produit, quotient et fonction composée
Déterminer l'équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)
Étudier le signe de f′ et dresser un tableau de variations
Identifier coût marginal C′(x) et relier coût moyen minimal et coût marginal
Maximiser un profit P(x) = R(x) − C(x) en annulant P′

Notions clés

Règles de dérivation

(uv)'=u'v+uv'

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)

Variations et extremums

f'>0 \Rightarrow

croissante,

f'<0 \Rightarrow

décroissante.

f'

s'annule en changeant de signe

\Rightarrow

extremum local (optimum).

Coût marginal et coût moyen

Coût marginal :

Cm(x)=C'(x)

. Coût moyen :

CM(x)=\dfrac{C(x)}{x}

CM

est minimal là où

CM'(x)=0

, ce qui équivaut à

Cm(x)=CM(x)

Convexité

f''>0

: convexe (rendements croissants du coût) ;

f''<0

: concave ;

f''

change de signe : point d'inflexion (bascule des rendements).

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

Les solutions de

f(x) = k

sont les abscisses des points d'intersection de la courbe

C_f

avec la droite

y = k

; celles de

f(x) > k

sont les abscisses des points de

C_f

situés au-dessus de cette droite. De même,

f(x) = g(x)

a pour solutions les abscisses des points d'intersection de

C_f

C_g

, et

f(x) \ge g(x)

est vérifiée là où

C_f

est au-dessus de

C_g

. Une lecture graphique donne le nombre de solutions et une valeur approchée ; le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires permettent ensuite de le justifier.

Fonctions rationnelles et irrationnelles

Une fonction rationnelle

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}

est définie là où

Q(x) \ne 0

; en

\pm\infty

, sa limite est celle du quotient des termes de plus haut degré. Exemple :

f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}

est définie sur

\mathbb{R} \setminus \{1\}

, tend vers 2 en

\pm\infty

(asymptote

y = 2

) et vers

\pm\infty

en 1 (asymptote

x = 1

) ;

f'(x) = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0

, elle est décroissante sur chaque intervalle. Une fonction irrationnelle du type

f(x) = \sqrt{u(x)}

est définie là où

u(x) \ge 0

, et dérivable là où

u(x) > 0

, avec

f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

; elle a le même sens de variation que

u

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur u′ en dérivant une composée.

Conclure « f′(a) = 0 donc optimum » sans le changement de signe de f′.

Confondre coût marginal C′(x) et coût moyen C(x)/x.

Oublier de vérifier que l'optimum est un maximum (et non un minimum) via le signe de f′ ou de f″.

Exemple corrigé

Énoncé

Le coût total est

C(x)=0{,}5x^2+4x+50

pour

x>0

. Déterminer le coût marginal, le coût moyen, puis la production qui minimise le coût moyen.

Correction

Coût marginal :

Cm(x)=C'(x)=x+4

Coût moyen :

CM(x)=\dfrac{C(x)}{x}=0{,}5x+4+\dfrac{50}{x}

CM'(x)=0{,}5-\dfrac{50}{x^2}

CM'(x)=0 \iff x^2=100 \iff x=10

(avec

x>0

CM'<0

avant,

CM'>0

après : minimum en

x=10

CM(10)=5+4+5=14

Cm(10)=10+4=14

: le coût moyen est minimal quand il est égal au coût marginal.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Soit

f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}

. Calculer

f'

et l'équation de la tangente en

x=4

Voir la correction

f'(x)=\dfrac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2}=\dfrac{-7}{(x-3)^2}

f(4)=9

f'(4)=-7

. Tangente :

y=-7(x-4)+9=-7x+37

Exercice 2

Moyen

Le coût est

C(x)=x^3-9x^2+24x

pour

x\ge 0

. Étudier la convexité de

C

et interpréter le point d'inflexion.

Voir la correction

C'(x)=3x^2-18x+24

C''(x)=6x-18=6(x-3)

C''<0

sur

[0,3[

(concave),

C''>0

sur

]3,+\infty[

(convexe). Point d'inflexion en

x=3

: au-delà, chaque unité supplémentaire coûte de plus en plus cher — les rendements deviennent décroissants.

Exercice 3

Difficile

La recette est

R(x)=20x

et le coût

C(x)=0{,}5x^2+4x+50

. Déterminer la production

x^*

qui maximise le profit

P(x)=R(x)-C(x)

et la valeur du profit maximal.

Voir la correction

P(x)=20x-(0{,}5x^2+4x+50)=-0{,}5x^2+16x-50

P'(x)=-x+16

P'(x)=0 \iff x=16

, avec

P'>0

avant et

P'<0

après, donc maximum en

x^*=16

P(16)=-0{,}5\times 256+16\times 16-50=-128+256-50=78

. Profit maximal :

78

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le coût marginal ?

La dérivée du coût total, C′(x) : le coût approché de la (x + 1)-ième unité produite. On l'oppose au coût moyen C(x)/x.

Pourquoi le coût moyen est-il minimal quand il égale le coût marginal ?

En dérivant CM(x) = C(x)/x, on obtient CM′(x) = (C′(x)·x − C(x))/x² = (Cm(x) − CM(x))/x. CM′ s'annule donc exactement quand Cm(x) = CM(x).

Comment maximiser un profit ?

On écrit P(x) = R(x) − C(x), on résout P′(x) = 0 (soit recette marginale = coût marginal), puis on vérifie par le signe de P′ que c'est bien un maximum.