OrkaOrka/Bac/Sciences Économiques (Éco)
Mathématiques · Bac Éco · Coefficient 4

Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac Éco

Compter (arrangements, combinaisons) puis calculer des probabilités : conditionnement, probabilités totales, et variables aléatoires jusqu'à la loi binomiale — souvent en contexte de contrôle qualité.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet, fréquemment posé dans un cadre de contrôle qualité ou d'échantillonnage.

À l'épreuve

Un exercice type : dénombrer des tirages (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales (chaîne de production A/B), définir une variable aléatoire X (nombre de défectueux), donner sa loi, son espérance ; parfois une loi binomiale B(n, p).

Objectifs d'apprentissage

  • Dénombrer : arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
  • Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
  • Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
  • Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
  • Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p) (contrôle qualité)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés sans remise : Anp=n!(n−p)!A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}. Non ordonnés sans remise : Cnp=(np)=n!p!(n−p)!C_n^{p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}. Permutations : n!n!.

Probabilité conditionnelle

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}. Indépendance : P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B).

Probabilités totales et Bayes

Système complet (B1,…,Bn)(B_1,\dots,B_n) : P(A)=∑iP(Bi)P(A∣Bi)P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i). Bayes : P(Bi∣A)=P(Bi)P(A∣Bi)P(A)P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}.

Loi binomiale

Pour X∼B(n,p)X\sim\mathcal{B}(n,p) (n épreuves indépendantes, probabilité de succès pp) : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}, E(X)=npE(X)=np.

Erreurs fréquentes

1

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané.

2

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

3

Confondre P(A|B) et P(B|A).

4

Appliquer la loi binomiale sans indépendance ou avec p non constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un lot de 1212 articles contient 33 articles défectueux. On prélève 44 articles au hasard, simultanément. Calculer la probabilité d'avoir exactement 11 article défectueux.

Correction

Nombre total de prélèvements : (124)=495\dbinom{12}{4}=495.
Cas favorables : choisir 11 défectueux parmi 33 et 33 bons parmi 99 : (31)×(93)=3×84=252\dbinom{3}{1}\times\dbinom{9}{3}=3\times 84=252.
P(exactement 1 deˊfectueux)=252495P(\text{exactement 1 défectueux})=\dfrac{252}{495}.
En simplifiant par 99 : P=2855≈0,509P=\dfrac{28}{55}\approx 0{,}509.

Le cours, puis l'entraînement.

Orka génère des exercices illimités et des examens blancs corrigés sur tout le programme de Mathématiques du Bac Éco, avec un suivi de ta progression chapitre par chapitre.

Continue gratuitement sur Orka

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Combien de codes de 44 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de 11 à 99 ?
Voir la correction
L'ordre compte et il n'y a pas de répétition : A94=9×8×7×6=3024A_9^{4}=9\times 8\times 7\times 6=3024.

Exercice 2

Moyen
Une entreprise fabrique 60%60\% de sa production sur la chaîne A et 40%40\% sur la chaîne B. 5%5\% des articles de A et 8%8\% de ceux de B sont défectueux. Un article tiré au hasard est défectueux : quelle est la probabilité qu'il vienne de la chaîne A ?
Voir la correction
P(A)=0,6P(A)=0{,}6, P(D∣A)=0,05P(D\mid A)=0{,}05, P(D∣B)=0,08P(D\mid B)=0{,}08. P(D)=0,6×0,05+0,4×0,08=0,03+0,032=0,062P(D)=0{,}6\times 0{,}05+0{,}4\times 0{,}08=0{,}03+0{,}032=0{,}062. Bayes : P(A∣D)=0,030,062≈0,48P(A\mid D)=\dfrac{0{,}03}{0{,}062}\approx 0{,}48.

Exercice 3

Difficile
Un contrôle porte sur 55 pièces indépendantes, chacune défectueuse avec probabilité 0,20{,}2. Soit XX le nombre de pièces défectueuses. Donner la loi de XX, calculer E(X)E(X) et P(X≥1)P(X\ge 1).
Voir la correction
X∼B(5, 0,2)X\sim\mathcal{B}(5,\ 0{,}2) : P(X=k)=(5k)(0,2)k(0,8)5−kP(X=k)=\dbinom{5}{k}(0{,}2)^{k}(0{,}8)^{5-k}. E(X)=np=5×0,2=1E(X)=np=5\times 0{,}2=1. P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(0,8)5=1−0,32768=0,67232P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0{,}8)^5=1-0{,}32768=0{,}67232.

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l’IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s’ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d’annales sur ce chapitre

Sujets d’examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Ordre pertinent (code, classement, tirages successifs) → arrangement Aₙᵖ. Ordre indifférent (échantillon, prélèvement simultané) → combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut survenir via plusieurs cas incompatibles recouvrant l'univers (chaînes de production, catégories de clients) : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (conforme / défectueux) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de succès suit B(n, p), d'espérance np.

À lire aussi

Calcul intégral — Bac ÉcoProgramme de Mathématiques Bac ÉcoComment calculer sa moyenne au Bac Maroc