Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac Éco

Dans le programme du Bac Éco

Coefficient 4 en Bac Sciences Économiques, derrière l'Économie Générale et Statistiques et la Comptabilité et Mathématiques Financières (coefficient 6 chacune). Programme de Mathématiques Appliquées en 8 chapitres : analyse et probabilités, sans nombres complexes, géométrie dans l'espace, équations différentielles ni arithmétique. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet, fréquemment posé dans un cadre de contrôle qualité ou d'échantillonnage.

À l'épreuve

Un exercice type : dénombrer des tirages (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales (chaîne de production A/B), définir une variable aléatoire X (nombre de défectueux), donner sa loi, son espérance ; parfois une loi binomiale B(n, p).

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer : arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p) (contrôle qualité)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

. Permutations :

n!

Probabilité conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

. Indépendance :

P(A\cap B)=P(A)P(B)

Probabilités totales et Bayes

Système complet

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Loi binomiale

Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

(n épreuves indépendantes, probabilité de succès

p

) :

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

Événements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

; lorsque

P(B) \ne 0

, cela revient à

P_B(A) = P(A)

: savoir que

B

est réalisé ne change pas la probabilité de

A

. Ne pas confondre avec des événements incompatibles (

A \cap B = \emptyset

). Si

A

B

sont deux événements indépendants,

A

\bar B

le sont aussi. Lors d'épreuves successives indépendantes, les probabilités se multiplient. Exemple : on lance un dé ;

A

= « nombre pair » (

P = \dfrac{1}{2}

) et

B

= « nombre inférieur ou égal à 2 » (

P = \dfrac{1}{3}

) ;

A \cap B = \{2\}

a pour probabilité

\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}

: ces deux événements sont indépendants.

Réunion, intersection et événement contraire

Pour deux événements

A

B

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

(réunion : «

A

B

» ; intersection : «

A

B

»). Si

A

B

sont incompatibles,

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

. L'événement contraire

\bar A

vérifie

P(\bar A) = 1 - P(A)

. Exemple : on tire une carte d'un jeu de 32 ;

A

= « cœur » (

\dfrac{8}{32}

B

= « roi » (

\dfrac{4}{32}

A \cap B

= « roi de cœur » (

\dfrac{1}{32}

) :

P(A \cup B) = \dfrac{11}{32}

P(\bar A) = \dfrac{24}{32} = \dfrac{3}{4}

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Appliquer la loi binomiale sans indépendance ou avec p non constant.

Exemple corrigé

Énoncé

Un lot de

12

articles contient

3

articles défectueux. On prélève

4

articles au hasard, simultanément. Calculer la probabilité d'avoir exactement

1

article défectueux.

Correction

Nombre total de prélèvements :

\dbinom{12}{4}=495

Cas favorables : choisir

1

défectueux parmi

3

3

bons parmi

9

\dbinom{3}{1}\times\dbinom{9}{3}=3\times 84=252

P(\text{exactement 1 défectueux})=\dfrac{252}{495}

En simplifiant par

9

P=\dfrac{28}{55}\approx 0{,}509

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Combien de codes de

4

chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de

1

9

Voir la correction

L'ordre compte et il n'y a pas de répétition :

A_9^{4}=9\times 8\times 7\times 6=3024

Exercice 2

Moyen

Une entreprise fabrique

60\%

de sa production sur la chaîne A et

40\%

sur la chaîne B.

5\%

des articles de A et

8\%

de ceux de B sont défectueux. Un article tiré au hasard est défectueux : quelle est la probabilité qu'il vienne de la chaîne A ?

Voir la correction

P(A)=0{,}6

P(D\mid A)=0{,}05

P(D\mid B)=0{,}08

P(D)=0{,}6\times 0{,}05+0{,}4\times 0{,}08=0{,}03+0{,}032=0{,}062

. Bayes :

P(A\mid D)=\dfrac{0{,}03}{0{,}062}\approx 0{,}48

Exercice 3

Difficile

Un contrôle porte sur

5

pièces indépendantes, chacune défectueuse avec probabilité

0{,}2

. Soit

X

le nombre de pièces défectueuses. Donner la loi de

X

, calculer

E(X)

P(X\ge 1)

Voir la correction

X\sim\mathcal{B}(5,\ 0{,}2)

P(X=k)=\dbinom{5}{k}(0{,}2)^{k}(0{,}8)^{5-k}

E(X)=np=5\times 0{,}2=1

P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(0{,}8)^5=1-0{,}32768=0{,}67232

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Ordre pertinent (code, classement, tirages successifs) → arrangement Aₙᵖ. Ordre indifférent (échantillon, prélèvement simultané) → combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut survenir via plusieurs cas incompatibles recouvrant l'univers (chaînes de production, catégories de clients) : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (conforme / défectueux) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de succès suit B(n, p), d'espérance np.