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Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Limites et continuité — Cours Maths Bac Agro

Calculer une limite, lever une forme indéterminée, décrire les branches infinies d'une courbe et exploiter la continuité — TVI et théorème de la bijection en tête.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Les limites ouvrent le bloc d'analyse, réinvesti dans l'étude des fonctions, le logarithme, l'exponentielle et le calcul intégral.

À l'épreuve

Presque toujours à l'intérieur d'une étude de fonction (branches infinies, asymptotes). La continuité sert à justifier, via le TVI puis la stricte monotonie, l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = 0, souvent suivie d'un encadrement.

Objectifs d'apprentissage

  • Calculer une limite finie ou infinie à partir des limites usuelles et des opérations
  • Lever les formes indéterminées 0/0, ∞/∞, ∞−∞ par factorisation ou quantité conjuguée
  • Déterminer les asymptotes verticale, horizontale et oblique d'une courbe
  • Étudier la continuité en un point et sur un intervalle
  • Appliquer le TVI pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution de f(x) = k

Notions clés

Limites usuelles et opérations

lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, lim⁡x→+∞1xn=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0, lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty. Pour une fonction rationnelle, la limite en ±∞\pm\infty est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Formes indéterminées

00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty}, ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty : on factorise par le terme dominant, on multiplie par la quantité conjuguée (racines), ou on reconnaît un taux d'accroissement.

Asymptotes

Verticale x=ax=a si lim⁡x→af=±∞\lim_{x\to a}f=\pm\infty. Horizontale y=ℓy=\ell si lim⁡±∞f=ℓ\lim_{\pm\infty}f=\ell. Oblique y=ax+by=ax+b si lim⁡±∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0.

TVI et bijection

Si ff est continue sur [a,b][a,b] et kk entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors f(x)=kf(x)=k a au moins une solution ; si ff est de plus strictement monotone, elle est unique.

Erreurs fréquentes

1

Écrire « ∞ − ∞ = 0 » : forme indéterminée à lever.

2

Appliquer le TVI sans avoir vérifié la continuité sur tout l'intervalle.

3

Conclure à l'unicité sans la stricte monotonie.

4

Confondre asymptote oblique et branche parabolique.

Exemple corrigé

Énoncé

Calculer lim⁡x→+∞5x2+2xx2−3\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2+2x}{x^2-3} puis lim⁡x→−2x2+x−2x2−4\displaystyle\lim_{x\to -2}\dfrac{x^2+x-2}{x^2-4}.

Correction

Première limite. Quotient des termes de plus haut degré : 5x2x2=5\dfrac{5x^2}{x^2}=5.
Seconde limite. Forme 00\tfrac{0}{0}. x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2+x-2=(x+2)(x-1) et x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2).
Pour x≠−2x\neq -2 : x2+x−2x2−4=x−1x−2\dfrac{x^2+x-2}{x^2-4}=\dfrac{x-1}{x-2}.
Donc lim⁡x→−2x2+x−2x2−4=−3−4=34\displaystyle\lim_{x\to -2}\dfrac{x^2+x-2}{x^2-4}=\dfrac{-3}{-4}=\dfrac{3}{4}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Calculer lim⁡x→+∞3x3+xx3−2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^3+x}{x^3-2} et lim⁡x→+∞x2+1x3+1\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+1}{x^3+1}.
Voir la correction
Quotient des termes dominants : 3x3x3→3\dfrac{3x^3}{x^3}\to 3 ; x2x3=1x→0\dfrac{x^2}{x^3}=\dfrac{1}{x}\to 0.

Exercice 2

Moyen
Déterminer l'asymptote oblique de g(x)=x2−x+2x+1g(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x+1}.
Voir la correction
Division : x2−x+2=(x+1)(x−2)+4x^2-x+2=(x+1)(x-2)+4, donc g(x)=x−2+4x+1g(x)=x-2+\dfrac{4}{x+1}. Comme 4x+1→0\dfrac{4}{x+1}\to 0 en ±∞\pm\infty, la droite y=x−2y=x-2 est asymptote oblique.

Exercice 3

Difficile
Montrer que l'équation x3+x−3=0x^3+x-3=0 admet une unique solution réelle α\alpha, avec 1<α<21<\alpha<2.
Voir la correction
h(x)=x3+x−3h(x)=x^3+x-3 est continue et dérivable, h′(x)=3x2+1>0h'(x)=3x^2+1>0 : hh est strictement croissante, donc réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}. L'équation h(x)=0h(x)=0 a donc une unique solution α\alpha. h(1)=−1<0h(1)=-1<0 et h(2)=7>0h(2)=7>0, donc 1<α<21<\alpha<2.

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Questions fréquentes

Limite d'une fonction rationnelle en l'infini ?

Quotient des termes de plus haut degré : degrés égaux → quotient des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand → ±∞ ; plus petit → 0.

À quoi sert le TVI en Bac Agro ?

À prouver qu'une équation f(x) = 0 possède une solution sur un intervalle, avant d'en donner un encadrement.

Continue et dérivable, quelle différence ?

Toute fonction dérivable en un point y est continue ; la réciproque est fausse. On justifie la continuité avant un TVI, la dérivabilité avant d'étudier les variations.

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