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Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Fonctions logarithmiques — Cours Maths Bac Agro

La fonction ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'un logarithme composé, et étude de fonctions faisant intervenir ln.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Le logarithme et l'exponentielle forment le cœur analytique de l'épreuve : au moins un des deux problèmes porte sur une fonction les combinant.

À l'épreuve

Étude complète d'une fonction du type x ↦ x − 1 − ln x ou x ↦ 2 ln x − x : domaine, limites (croissances comparées), dérivée, tableau, extremum, tracé ; parfois une inégalité (ln x ≤ x − 1) démontrée par étude de fonction.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a
  • Résoudre une équation ou une inéquation avec ln après avoir fixé le domaine
  • Connaître les limites : ln x → +∞ (lentement), (ln x)/x → 0, x ln x → 0⁺
  • Dériver un logarithme composé : (ln u)′ = u′/u
  • Mener l'étude complète d'une fonction contenant ln et en déduire une inégalité

Notions clés

Définition et propriétés

ln⁡\ln est la primitive de x↦1xx\mapsto\frac1x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ qui s'annule en 11. ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b, ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n)=n\ln a. ln⁡1=0\ln 1=0, ln⁡e=1\ln e=1.

Variation et limites

ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[. lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0, lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, lim⁡x→1ln⁡xx−1=1\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1.

Dérivée

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac1x et, pour u>0u>0, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Une primitive de u′u\dfrac{u'}{u} est ln⁡∣u∣\ln|u|.

Logarithme de base aa et logarithme décimal

Pour a>0a > 0 et a≠1a \ne 1, le logarithme de base aa est log⁡a(x)=ln⁡xln⁡a\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a} pour x>0x > 0. Il a les mêmes propriétés algébriques que ln⁡\ln : log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, log⁡a(xr)=rlog⁡ax\log_a(x^r) = r\log_a x, avec log⁡a(a)=1\log_a(a) = 1. Il est croissant si a>1a > 1, décroissant si 0<a<10 < a < 1. Le logarithme décimal est log⁡=log⁡10\log = \log_{10} : log⁡(10n)=n\log(10^n) = n ; il sert pour le pH ou les décibels. Exemples : log⁡232=5\log_2 32 = 5 et log⁡(0,001)=−3\log(0{,}001) = -3.

Erreurs fréquentes

1
Résoudre une équation avec ln sans fixer d'abord le domaine.
2
Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : faux.
3
Négliger les croissances comparées et déclarer « +∞ − ∞ » sans lever la forme.
4
Dériver ln(u) en 1/u en oubliant le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Soit f(x)=x−1−ln⁡xf(x)=x-1-\ln x sur ]0;+∞[]0;+\infty[. Étudier ses variations et en déduire que ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 pour tout x>0x>0.

Correction

lim⁡x→0+f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty (car −ln⁡x→+∞-\ln x\to+\infty) et lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty (car xx l'emporte).
f′(x)=1−1x=x−1xf'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x} : f′<0f'<0 sur ]0,1[]0,1[, f′>0f'>0 sur ]1,+∞[]1,+\infty[.
ff décroît sur ]0,1]]0,1], croît sur [1,+∞[[1,+\infty[, avec un minimum f(1)=1−1−0=0f(1)=1-1-0=0.
Donc f(x)≥0f(x)\ge 0 pour tout x>0x>0, c'est-à-dire x−1−ln⁡x≥0x-1-\ln x\ge 0, soit ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : ln⁡(4x−3)=ln⁡(x+3)\ln(4x-3)=\ln(x+3).
Voir la correction
Domaine : x>34x>\tfrac34. L'équation équivaut à 4x−3=x+34x-3=x+3, soit x=2x=2. Comme 2>342>\tfrac34, S={2}S=\{2\}.

Exercice 2

Moyen
Déterminer le plus petit entier nn tel que (1,08)n≥2(1{,}08)^{n}\ge 2.
Voir la correction
(1,08)n≥2  ⟺  n≥ln⁡2ln⁡1,08≈0,69310,07696≈9,01(1{,}08)^{n}\ge 2 \iff n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}08}\approx\dfrac{0{,}6931}{0{,}07696}\approx 9{,}01. Le plus petit entier est n=10n=10.

Exercice 3

Difficile
Étudier f(x)=ln⁡xxf(x)=\dfrac{\ln x}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ : limites, variations, extremum.
Voir la correction
lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)=0+\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+ (croissance comparée). f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2} : f′>0  ⟺  x<ef'>0 \iff x<e. Donc ff croît sur ]0,e]]0,e], décroît sur [e,+∞[[e,+\infty[, avec un maximum f(e)=1ef(e)=\dfrac{1}{e}.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation avec des logarithmes ?

On fixe le domaine (chaque argument > 0), on regroupe les ln en un seul de chaque côté, on identifie les arguments, on résout, puis on garde les solutions du domaine.

Que signifie « croissance comparée » ?

À l'infini, x l'emporte sur ln x : (ln x)/x → 0. Cela permet de lever des formes indéterminées contenant un logarithme.

Pourquoi ln x ≤ x − 1 ?

La fonction x ↦ x − 1 − ln x a un minimum nul en x = 1 : elle est donc toujours positive, ce qui donne l'inégalité, valable pour tout x > 0.

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