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Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Fonctions exponentielles — Cours Maths Bac Agro

La fonction exp, réciproque de ln : règles de calcul, limites et croissances comparées, dérivée d'une exponentielle composée, équations par le changement X = eˣ.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. Traitée juste après le logarithme, l'exponentielle est l'objet de l'autre problème d'analyse et modélise les croissances à taux constant.

À l'épreuve

Étude d'une fonction du type x ↦ (x − 1)eˣ ou x ↦ eˣ/x : limites avec croissances comparées, dérivée, tableau, tangente, tracé ; résolution d'une équation par le changement X = eˣ ; démonstration d'une inégalité par étude de signe.

Objectifs d'apprentissage

  • Utiliser exp comme réciproque de ln : eˡⁿ ᵃ = a, eᵃ⁺ᵇ = eᵃ · eᵇ
  • Résoudre une équation exponentielle par le changement X = eˣ (X > 0)
  • Connaître les limites : eˣ → +∞, eˣ/x → +∞, x eˣ → 0 en −∞
  • Dériver une exponentielle composée : (eᵘ)′ = u′eᵘ
  • Démontrer une inégalité par étude de la fonction associée

Notions clés

Définition et propriétés

exp⁡\exp est la réciproque de ln⁡\ln : eln⁡a=ae^{\ln a}=a (a>0a>0), ln⁡(ex)=x\ln(e^x)=x. ea+b=eaebe^{a+b}=e^a e^b, e−a=1eae^{-a}=\frac{1}{e^a}, e0=1e^0=1.

Variation et limites

exp⁡\exp est strictement croissante et >0>0 sur R\mathbb{R}. lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, lim⁡x→−∞ex=0+\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+.

Croissances comparées

lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty ; lim⁡x→−∞x ex=0\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0 ; lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1.

Dérivée

(ex)′=ex(e^x)'=e^x et (eu)′=u′eu(e^{u})'=u'e^{u}. exp⁡\exp est convexe, d'où ex≥1+xe^x\ge 1+x pour tout xx.

Erreurs fréquentes

1

Oublier la contrainte X = eˣ > 0 en résolvant par changement de variable.

2

Écrire eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ : faux, c'est le produit.

3

Confondre eˣ/x → +∞ (comparée) et une forme non levée.

4

Dériver e^(u) sans le facteur u′.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} : e2x−7ex+12=0e^{2x}-7e^{x}+12=0.

Correction

On pose X=exX=e^{x}, X>0X>0. L'équation devient X2−7X+12=0X^2-7X+12=0.
X2−7X+12=(X−3)(X−4)=0X^2-7X+12=(X-3)(X-4)=0, donc X=3X=3 ou X=4X=4 (toutes deux >0>0).
ex=3  ⟺  x=ln⁡3e^{x}=3 \iff x=\ln 3 ; ex=4  ⟺  x=ln⁡4e^{x}=4 \iff x=\ln 4.
S={ln⁡3, ln⁡4}S=\{\ln 3,\ \ln 4\}.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre dans R\mathbb{R} : e3x−2=e4e^{3x-2}=e^{4}.
Voir la correction
Par stricte croissance de exp⁡\exp, 3x−2=43x-2=4, soit x=2x=2.

Exercice 2

Moyen
Calculer lim⁡x→+∞(3x+1)e−x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x+1)e^{-x} et lim⁡x→−∞(x2+2)ex\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+2)e^{x}.
Voir la correction
(3x+1)e−x=3x+1ex→0(3x+1)e^{-x}=\dfrac{3x+1}{e^{x}}\to 0 par croissance comparée. (x2+2)ex=x2ex+2ex→0(x^2+2)e^{x}=x^2 e^{x}+2e^{x}\to 0 en −∞-\infty.

Exercice 3

Difficile
Étudier f(x)=exxf(x)=\dfrac{e^{x}}{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et en déduire que ex≥e xe^{x}\ge e\,x pour tout x>0x>0.
Voir la correction
f′(x)=exx−exx2=ex(x−1)x2f'(x)=\dfrac{e^{x}x-e^{x}}{x^2}=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^2} : f′<0f'<0 sur ]0,1[]0,1[, f′>0f'>0 sur ]1,+∞[]1,+\infty[. ff a un minimum f(1)=ef(1)=e. Donc exx≥e\dfrac{e^{x}}{x}\ge e pour tout x>0x>0, c'est-à-dire ex≥e xe^{x}\ge e\,x.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation exponentielle ?

Si elle est polynomiale en eˣ, on pose X = eˣ (X > 0), on résout en X, puis x = ln X pour chaque solution positive.

Pourquoi la croissance « exponentielle » est-elle si rapide ?

Parce que eˣ/xⁿ → +∞ pour tout n : l'exponentielle finit toujours par dépasser n'importe quelle puissance de x.

exp et ln, quelle relation à l'examen ?

Ce sont des fonctions réciproques : on passe de l'une à l'autre pour résoudre équations et inéquations et pour transformer aˣ = e^(x ln a).

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