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Mathématiques · Bac Agro · Coefficient 7

Dérivation et étude des fonctions — Cours Maths Bac Agro

Dériver (y compris une composée et une réciproque), tracer une tangente, dresser un tableau de variations et lire la convexité d'une courbe.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac Agro

Coefficient 7 en Bac Sciences Agronomiques — la matière au plus fort coefficient de la filière, devant la Physique-Chimie, la SVT et les Sciences des Plantes et des Animaux (coefficient 5 chacune). Programme des filières expérimentales en 11 chapitres, sans arithmétique ni structures algébriques. La dérivation est réinvestie dans tous les chapitres suivants ; l'étude complète d'une fonction est le cœur d'un des deux problèmes.

À l'épreuve

Un problème type demande le domaine, les limites et branches infinies, le calcul et le signe de f′, le tableau de variations, une tangente, l'étude de la convexité via f″, puis le tracé et l'exploitation graphique.

Objectifs d'apprentissage

  • Dériver somme, produit, quotient et fonction composée
  • Déterminer l'équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)
  • Étudier le signe de f′ et dresser un tableau de variations
  • Étudier la convexité par le signe de f″ et repérer les points d'inflexion
  • Calculer la dérivée d'une réciproque : (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x) avec x = f⁻¹(y)

Notions clés

Règles de dérivation

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u).

Tangente

Équation en aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a). Le signe de f(x)−[f′(a)(x−a)+f(a)]f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big] donne la position locale de la courbe par rapport à sa tangente.

Sens de variation

f′>0⇒ff'>0 \Rightarrow f strictement croissante ; f′<0⇒ff'<0 \Rightarrow f strictement décroissante ; f′f' s'annule en changeant de signe ⇒\Rightarrow extremum local.

Convexité et réciproque

f′′>0f''>0 : convexe ; f′′<0f''<0 : concave ; f′′f'' change de signe : point d'inflexion. Si ff est une bijection dérivable avec f′≠0f'\neq 0 : (f−1)′(y)=1f′(x)(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}, y=f(x)y=f(x).

Erreurs fréquentes

1

Oublier le facteur u′ en dérivant une composée.

2

Conclure « f′(a) = 0 donc extremum » sans le changement de signe de f′.

3

Confondre variations (f′) et convexité (f″).

4

Écrire (f⁻¹)′(y) = 1/f′(y).

Exemple corrigé

Énoncé

Soit f(x)=x2−3x−2f(x)=\dfrac{x^2-3}{x-2} sur R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\}. Étudier ses variations et donner l'asymptote oblique.

Correction

Forme réduite. x2−3=(x−2)(x+2)+1x^2-3=(x-2)(x+2)+1, donc f(x)=x+2+1x−2f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-2}. La droite y=x+2y=x+2 est asymptote oblique.
Dérivée. f′(x)=1−1(x−2)2=(x−2)2−1(x−2)2=(x−1)(x−3)(x−2)2f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}.
Signe. Dénominateur >0>0. f′f' a le signe de (x−1)(x−3)(x-1)(x-3) : f′>0f'>0 sur ]−∞,1[]-\infty,1[ et ]3,+∞[]3,+\infty[, f′<0f'<0 sur ]1,2[]1,2[ et ]2,3[]2,3[.
Variations. ff croît sur ]−∞,1]]-\infty,1], décroît jusqu'à 33 (en évitant 22), croît sur [3,+∞[[3,+\infty[. Maximum local f(1)=2f(1)=2, minimum local f(3)=6f(3)=6.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Soit f(x)=4x+1x−2f(x)=\dfrac{4x+1}{x-2}. Calculer f′f' et l'équation de la tangente en x=3x=3.
Voir la correction
f′(x)=4(x−2)−(4x+1)(x−2)2=−9(x−2)2f'(x)=\dfrac{4(x-2)-(4x+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{-9}{(x-2)^2}. f(3)=13f(3)=13, f′(3)=−9f'(3)=-9. Tangente : y=−9(x−3)+13=−9x+40y=-9(x-3)+13=-9x+40.

Exercice 2

Moyen
Étudier la convexité de f(x)=x3−6x2+5xf(x)=x^3-6x^2+5x et déterminer son point d'inflexion.
Voir la correction
f′(x)=3x2−12x+5f'(x)=3x^2-12x+5, f′′(x)=6x−12=6(x−2)f''(x)=6x-12=6(x-2). f′′<0f''<0 sur ]−∞,2[]-\infty,2[ (concave), f′′>0f''>0 sur ]2,+∞[]2,+\infty[ (convexe). Point d'inflexion en x=2x=2, f(2)=8−24+10=−6f(2)=8-24+10=-6 : I(2;−6)I(2;-6).

Exercice 3

Difficile
Soit f(x)=x3+x−1f(x)=x^3+x-1. Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R} et calculer (f−1)′(1)(f^{-1})'(1).
Voir la correction
f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0 : ff est continue et strictement croissante, avec lim⁡−∞f=−∞\lim_{-\infty}f=-\infty et lim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty}f=+\infty, donc bijection de R\mathbb{R} sur R\mathbb{R}. f(1)=1f(1)=1, donc f−1(1)=1f^{-1}(1)=1 et (f−1)′(1)=1f′(1)=14(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}.

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Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'une tangente ?

y = f′(a)(x − a) + f(a). On calcule f(a) et f′(a). Tangente horizontale : f′(a) = 0.

À quoi sert l'étude de la convexité ?

À préciser l'allure de la courbe et localiser les points d'inflexion. Elle sert aussi à démontrer des inégalités (courbe au-dessus d'une tangente ou d'une corde).

La dérivée d'une réciproque est-elle au programme Agro ?

Oui : si f est une bijection dérivable de dérivée non nulle, (f⁻¹)′(y) = 1/f′(x) avec x = f⁻¹(y).

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