Les Annuités — Valeur Acquise et Valeur Actuelle (Bac SGC)

Objectifs d'apprentissage

Définir une suite d'annuités constantes
Calculer la valeur acquise d'une suite d'annuités constantes de fin de période
Calculer la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes de fin de période
Isoler l'annuité connaissant la valeur acquise ou la valeur actuelle visée
Relier la valeur actuelle des annuités au montant empruntable pour un remboursement par annuités constantes

Formules et résultats clés

V_n = a \times \dfrac{(1+t)^n - 1}{t}

(valeur acquise)

$V_0 = a \times \dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t}$ (valeur actuelle)

La valeur actuelle est le capital équivalent aujourd'hui à toute la suite des n annuités futures — l'outil de base du chapitre suivant sur les emprunts indivis.

Erreurs fréquentes

Confondre valeur acquise (capital constitué à la date du dernier versement) et valeur actuelle (capital équivalent à aujourd'hui, avant le premier versement).

Oublier que la formule standard suppose des annuités versées en fin de période — une annuité de début de période nécessite un ajustement.

Se tromper d'exposant dans la formule de la valeur actuelle, notamment sur le terme (1+t)⁻ⁿ.

Mélanger une périodicité d'annuités (par exemple annuelle) avec un taux exprimé dans une autre unité de temps (par exemple mensuel).

Croire que la valeur acquise s'obtient simplement en multipliant l'annuité par le nombre de versements, en ignorant totalement la capitalisation des intérêts.

Exemple corrigé — Valeur acquise et valeur actuelle

Énoncé

Une entreprise verse 10 000 dirhams à la fin de chaque année pendant 5 ans, au taux de 5,5 %. Calculez la valeur acquise à la fin de la 5ème année, puis la valeur actuelle de cette suite.

Correction

$V_5 = 10\,000 \times \dfrac{(1{,}055)^5-1}{0{,}055} \approx 10\,000 \times 5{,}5811 \approx 55\,811$ dirhams.

$V_0 = 10\,000 \times \dfrac{1-(1{,}055)^{-5}}{0{,}055} \approx 10\,000 \times 4{,}2703 \approx 42\,703$ dirhams.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une entreprise verse 6 000 dirhams à la fin de chaque année, pendant 4 ans, sur un compte au taux de 5 %. Calculez la valeur acquise à la date du dernier versement.

Voir la correction

$V_4 = 6\,000 \times \dfrac{(1{,}05)^4 - 1}{0{,}05} = 6\,000 \times \dfrac{1{,}21551 - 1}{0{,}05} = 6\,000 \times 4{,}3101 \approx 25\,860{,}60$ dirhams.

Exercice 2

Moyen

Quelle annuité constante faut-il verser en fin de chaque année, pendant 6 ans, au taux de 4 %, pour disposer de 70 000 dirhams à la fin de la 6ème année ?

Voir la correction

$a = \dfrac{V_n \times t}{(1+t)^n - 1} = \dfrac{70\,000 \times 0{,}04}{(1{,}04)^6 - 1} = \dfrac{2\,800}{1{,}26532 - 1} = \dfrac{2\,800}{0{,}26532} \approx 10\,553$ dirhams.

Exercice 3

Difficile

Une entreprise souhaite emprunter une somme qu'elle remboursera par 5 annuités constantes de 25 000 dirhams, versées en fin de chaque année, au taux de 7 %. Calculez le montant maximal empruntable aujourd'hui.

Voir la correction

$V_0 = a \times \dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t} = 25\,000 \times \dfrac{1-(1{,}07)^{-5}}{0{,}07} = 25\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}712986}{0{,}07} = 25\,000 \times \dfrac{0{,}287014}{0{,}07} \approx 25\,000 \times 4{,}1002 \approx 102\,505$ dirhams.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une suite d'annuités constantes ?

Une suite d'annuités constantes est une série de versements périodiques identiques, réalisés à intervalles réguliers (généralement annuels), utilisée soit pour constituer une épargne, soit pour rembourser un emprunt.

Comment calcule-t-on la valeur acquise d'une suite d'annuités ?

La valeur acquise d'une suite de n annuités constantes a, versées en fin de période au taux t, se calcule par Vn = a × [(1+t)^n - 1] / t.

À quoi sert la valeur actuelle d'une suite d'annuités ?

La valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes détermine le montant équivalent aujourd'hui à l'ensemble des versements futurs, ce qui sert notamment à calculer le montant maximal qu'une entreprise peut emprunter compte tenu d'un remboursement futur par annuités constantes.