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Mathématiques · Bac PC · Coefficient 7

Nombres complexes — Cours Maths Bac PC

Les trois écritures d'un complexe (algébrique, trigonométrique, exponentielle), module et argument, résolution d'équations du second degré à coefficients réels et applications géométriques.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. En PC, les nombres complexes remplacent l'arithmétique et les structures algébriques des filières SM. Le programme insiste sur le passage entre formes, la formule de Moivre et la lecture géométrique (affixe, distances, angles) plutôt que sur une théorie abstraite.

À l'épreuve

Un exercice dédié : calculs sous forme algébrique, mise sous forme trigonométrique/exponentielle, résolution de az² + bz + c = 0 (a, b, c réels, Δ < 0), puis une partie géométrique (nature d'un triangle, ensemble de points, rotation d'affixe).

Objectifs d'apprentissage

  • Passer d'une forme à l'autre : algébrique, trigonométrique, exponentielle
  • Calculer module, argument, conjugué, et utiliser leurs règles de calcul
  • Appliquer la formule de Moivre pour une puissance
  • Résoudre az² + bz + c = 0 à coefficients réels, y compris quand Δ < 0
  • Interpréter géométriquement un module (distance) et un argument (angle)

Notions clés

Formes et passage

Algébrique : z=x+iyz=x+iy. Module ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2}, argument θ\theta tel que cos⁡θ=x∣z∣\cos\theta=\frac{x}{|z|}, sin⁡θ=y∣z∣\sin\theta=\frac{y}{|z|}. Trigonométrique : z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|\big(\cos\theta+i\sin\theta\big). Exponentielle : z=∣z∣ eiθz=|z|\,e^{i\theta}.

Règles de calcul

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2 [2π]\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\ [2\pi] ; ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}, arg⁡ ⁣(z1z2)=arg⁡z1−arg⁡z2\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2. Moivre : (eiθ)n=einθ\big(e^{i\theta}\big)^n=e^{in\theta}. Conjugué : z‾=x−iy\overline{z}=x-iy, zz‾=∣z∣2z\overline{z}=|z|^2.

Équation du second degré à coefficients réels

Pour az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 avec Δ=b2−4ac<0\Delta=b^2-4ac<0 : deux solutions complexes conjuguées z=−b±i−Δ2az=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

Erreurs fréquentes

1

Donner un argument sans préciser [2π], ou se tromper de quadrant en oubliant les signes de x et y.

2

Écrire √Δ quand Δ < 0 : on utilise i·√(−Δ).

3

Confondre |z₁ + z₂| et |z₁| + |z₂| (inégalité triangulaire, égalité seulement dans des cas particuliers).

Exemple corrigé

Énoncé

Mettre z=1+i3z=1+i\sqrt{3} sous forme exponentielle, puis calculer z6z^{6}.

Correction

Module. ∣z∣=12+(3)2=4=2|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4}=2.
Argument. cos⁡θ=12\cos\theta=\dfrac{1}{2}, sin⁡θ=32\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}, donc θ=π3 [2π]\theta=\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]. Ainsi z=2 eiπ/3z=2\,e^{i\pi/3}.
Puissance (Moivre). z6=26 ei⋅6π/3=64 ei 2π=64z^{6}=2^{6}\,e^{i\cdot 6\pi/3}=64\,e^{i\,2\pi}=64.
Conclusion. z6=64z^6=64 (réel).

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Écrire sous forme algébrique z=3+i1−iz=\dfrac{3+i}{1-i}.
Voir la correction
On multiplie par le conjugué : z=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+4i−12=2+4i2=1+2iz=\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{3+4i-1}{2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i.

Exercice 2

Moyen
Résoudre dans C\mathbb{C} : z2−2z+5=0z^2-2z+5=0.
Voir la correction
Δ=4−20=−16<0\Delta=4-20=-16<0. Solutions : z=2±i162=2±4i2=1±2iz=\dfrac{2\pm i\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.

Exercice 3

Difficile
AA, BB, CC ont pour affixes a=1a=1, b=1+ib=1+i, c=2+ic=2+i. En calculant c−ab−a\dfrac{c-a}{b-a}, déterminer la nature du triangle ABCABC.
Voir la correction
c−a=1+ic-a=1+i, b−a=ib-a=i. c−ab−a=1+ii=(1+i)(−i)=1−i\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{1+i}{i}=(1+i)(-i)=1-i. Or ∣1−i∣=2|1-i|=\sqrt2 donne ACAB=2\dfrac{AC}{AB}=\sqrt2, et 1−i=2 e−iπ/41-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4} donne l'angle en AA égal à π4\dfrac{\pi}{4}. Avec AB=∣i∣=1AB=|i|=1, BC=∣c−b∣=1BC=|c-b|=1, AC=2AC=\sqrt2 : AB2+BC2=AC2AB^2+BC^2=AC^2. Le triangle ABCABC est rectangle isocèle en BB.

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Questions fréquentes

Quelle forme choisir pour une puissance zⁿ ?

La forme exponentielle (ou trigonométrique) : z = r·e^(iθ) donne zⁿ = rⁿ·e^(inθ) (Moivre). La forme algébrique n'est pratique que pour n = 2 ou 3.

Comment résoudre az² + bz + c = 0 avec Δ < 0 ?

Mêmes formules qu'en réel, mais √Δ devient i·√(−Δ) : les solutions (−b ± i√(−Δ))/(2a) sont deux complexes conjugués.

À quoi sert le quotient (c − a)/(b − a) en géométrie ?

Son module est le rapport AC/AB et son argument l'angle orienté (AB, AC). Il permet de reconnaître un triangle rectangle, isocèle, équilatéral, ou des points alignés.

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