Géométrie dans l'Espace — Cours, Formules, Exercices (Bac PC)

Objectifs d'apprentissage

Déterminer un vecteur directeur d'une droite et un vecteur normal à un plan
Écrire une représentation paramétrique d'une droite et une équation cartésienne d'un plan
Étudier les positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, ou de deux plans
Calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace et l'utiliser pour démontrer une orthogonalité
Calculer la distance d'un point à un plan
Reconnaître l'équation d'une sphère et en déterminer le centre et le rayon

Formules et résultats clés

Droite : représentation paramétrique

Pour une droite passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}(a,b,c)$ :

$x = x_A + at, \quad y = y_A + bt, \quad z = z_A + ct, \quad t \in \mathbb{R}$

Plan : équation cartésienne

Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ passant par $A$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ .

Produit scalaire dans l'espace

Pour $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'+zz'$ . Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Distance d'un point à un plan

$d(M_0,(P)) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Équation d'une sphère

La sphère de centre $\Omega(a,b,c)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur d'une droite (parallèle à la droite) et vecteur normal d'un plan (perpendiculaire au plan) — ce sont deux rôles différents.

Utiliser deux vecteurs colinéaires pour définir un plan : il en faut deux non colinéaires, sinon ils ne définissent qu'une droite.

Oublier la valeur absolue dans la formule de distance d'un point à un plan.

Se tromper de signe en développant $(x-a)^2$ lors de la mise sous forme canonique de l'équation d'une sphère.

Exemple corrigé — Distance d'un point à un plan

Énoncé

Soit le plan $(P): 2x - y + 2z - 3 = 0$ et le point $M(1,2,-1)$ . Calculer la distance de $M$ au plan $(P)$ .

Correction

$d(M,(P)) = \dfrac{|2(1) - 2 + 2(-1) - 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{|2-2-2-3|}{\sqrt{4+1+4}}$

$= \dfrac{|-5|}{\sqrt{9}} = \dfrac{5}{3}$

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1,0,2)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2,-1,3)$ .

Voir la correction

Une représentation paramétrique de la droite est : $x = 1+2t$ , $y = -t$ , $z = 2+3t$ , avec $t \in \mathbb{R}$ .

Exercice 2

Moyen

Montrer que les vecteurs $\vec{u}(1,2,-1)$ et $\vec{v}(3,-1,1)$ sont orthogonaux.

Voir la correction

On calcule le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\times 3 + 2\times(-1) + (-1)\times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$ . Le produit scalaire étant nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Exercice 3

Sphère

Déterminer le centre et le rayon de la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6=0$ .

Voir la correction

On complète les carrés : $(x^2-4x) + (y^2+2y) + z^2 - 6 = 0$ , soit $(x-2)^2-4 + (y+1)^2-1 + z^2 - 6 = 0$ . On obtient $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2 = 11$ . C'est l'équation d'une sphère de centre $\Omega(2,-1,0)$ et de rayon $r=\sqrt{11}$ .

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Le chapitre Géométrie dans l'espace est-il important pour le Bac PC ?

Oui, c'est un chapitre central qui combine calcul vectoriel et raisonnement géométrique. Les exercices sur les positions relatives de droites et de plans, le produit scalaire et les sphères reviennent très régulièrement dans les sujets d'examen national.

Quelle est la différence entre un vecteur directeur et un vecteur normal ?

Un vecteur directeur d'une droite indique sa direction : il est parallèle à la droite. Un vecteur normal d'un plan est perpendiculaire à ce plan, donc orthogonal à tous les vecteurs qu'il contient. Les deux notions ne sont pas interchangeables.

Comment reconnaître qu'une équation représente une sphère ?

Une équation du type x²+y²+z²+ax+by+cz+d=0 représente une sphère si, après avoir complété les carrés, on peut l'écrire sous la forme (x-α)²+(y-β)²+(z-γ)²=r² avec r²>0. Le centre est alors Ω(α,β,γ) et le rayon r=√(r²). Si le membre de droite est nul ou négatif, ce n'est pas une sphère (un point, ou l'ensemble vide).