Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac PC

Dans le programme du Bac PC

Coefficient 7. Avec la géométrie dans l'espace, c'est le seul chapitre non « analyse » du programme PC. Il est autonome : peu de liens avec le reste, ce qui en fait un exercice où l'on peut sécuriser des points indépendamment du sujet.

À l'épreuve

Exercice indépendant : une phase de dénombrement (tirages simultanés ⇒ combinaisons ; successifs sans remise ⇒ arrangements), un arbre pondéré avec probabilités conditionnelles et probabilités totales, puis la loi d'une variable aléatoire X et son espérance E(X).

Objectifs d'apprentissage

Choisir l'outil de dénombrement adapté : permutation, arrangement ou combinaison
Calculer une probabilité conditionnelle et tester l'indépendance de deux événements
Appliquer la formule des probabilités totales à partir d'un arbre pondéré
Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Calculer l'espérance d'une variable aléatoire et l'interpréter

Notions clés

Outils de dénombrement

Permutations de

n

objets :

n!

. Arrangements de

p

parmi

n

(avec ordre, sans répétition) :

A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Combinaisons :

\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}

. Tirage simultané ⇒ combinaisons ; tirage successif sans remise ⇒ arrangements.

Probabilité conditionnelle et indépendance

P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

(avec

P(B)\neq 0

A

B

sont indépendants si

P(A\cap B)=P(A)\,P(B)

. Probabilités totales avec une partition

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\displaystyle\sum_i P(B_i)\,P_{B_i}(A)

Variable aléatoire

X

prend les valeurs

x_1,\dots,x_k

avec probabilités

p_1,\dots,p_k

(

\sum p_i=1

). Espérance :

E(X)=\displaystyle\sum_i x_i\,p_i

— la valeur moyenne de

X

sur un grand nombre d'épreuves.

Erreurs fréquentes

Utiliser des arrangements pour un tirage simultané (où l'ordre ne compte pas) : c'est C(n, p).

Écrire P_B(A) = P(A ∩ B) en oubliant de diviser par P(B).

Vérifier l'indépendance « à l'intuition » au lieu de tester P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

Exemple corrigé

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire simultanément 3 boules. Soit

X

le nombre de rouges tirées. Déterminer la loi de

X

et calculer

E(X)

Correction

Univers. Nombre de tirages :

\dbinom{8}{3}=56

X

prend les valeurs

0,1,2,3

Loi.

P(X=k)=\dfrac{\dbinom{5}{k}\dbinom{3}{3-k}}{56}

P(X=0)=\dfrac{1}{56}

P(X=1)=\dfrac{15}{56}

P(X=2)=\dfrac{30}{56}

P(X=3)=\dfrac{10}{56}

Vérification.

\dfrac{1+15+30+10}{56}=1

Espérance.

E(X)=\dfrac{0+15+60+30}{56}=\dfrac{105}{56}=\dfrac{15}{8}=1{,}875

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un code est formé de 3 chiffres distincts choisis parmi

\{0,1,\dots,9\}

, l'ordre comptant. Combien de codes possibles ?

Voir la correction

Ordre + sans répétition ⇒ arrangements :

A_{10}^{3}=10\times 9\times 8=720

Exercice 2

Moyen

Dans une classe, 60 % sont des filles. 20 % des filles et 10 % des garçons portent des lunettes. On choisit un élève au hasard : quelle est la probabilité qu'il porte des lunettes ?

Voir la correction

F

: « fille »,

L

: « lunettes ».

P(L)=P(F)P_F(L)+P(\bar F)P_{\bar F}(L)=0{,}6\times 0{,}2+0{,}4\times 0{,}1=0{,}12+0{,}04=0{,}16

Exercice 3

Difficile

On lance deux dés équilibrés.

A

: « la somme vaut 7 » ;

B

: « le premier dé donne 3 ».

A

B

sont-ils indépendants ?

Voir la correction

36 issues équiprobables.

P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}

P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}

A\cap B=\{(3,4)\}

, donc

P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}=P(A)P(B)

A

B

sont indépendants.

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Questions fréquentes

Combinaison ou arrangement : comment choisir ?

Si l'ordre des éléments tirés compte (podium, code, tirage successif), ce sont des arrangements A(n, p). Sinon (poignée de boules tirées d'un coup, comité), ce sont des combinaisons C(n, p).

Comment lire un arbre pondéré ?

On multiplie les probabilités le long d'une branche pour une intersection, et on additionne les branches qui mènent à un même événement (formule des probabilités totales).

Que représente l'espérance E(X) ?

La moyenne des valeurs de X pondérées par leurs probabilités : la valeur vers laquelle tend la moyenne des résultats si on répète l'expérience un grand nombre de fois. Un jeu est équitable si E(gain) = 0.