Les Intérêts Composés — Formule, Valeur Acquise (Bac Éco)

Objectifs d'apprentissage

Définir la capitalisation à intérêts composés et la distinguer des intérêts simples
Appliquer la formule de la valeur acquise Cn = C0(1+t)^n
Calculer la valeur actuelle (actualisation) d'un capital futur connu
Retrouver le taux ou la durée d'un placement à intérêts composés en utilisant le logarithme
Calculer un taux équivalent entre deux périodes différentes (annuel, semestriel, mensuel)
Comparer, sur une durée identique, la valeur acquise d'un même capital en intérêts simples et en intérêts composés

Formules et résultats clés

Valeur acquise (capitalisation)

À chaque période, l'intérêt produit s'ajoute au capital et produit lui-même des intérêts les périodes suivantes :

C_n = C_0(1+t)^n

$C_0$ est le capital initial, t le taux d'intérêt de la période (en écriture décimale), n le nombre de périodes.

Valeur actuelle (actualisation)

$C_0 = \dfrac{C_n}{(1+t)^n}$

L'actualisation est l'opération inverse de la capitalisation : elle ramène un capital futur connu à sa valeur équivalente aujourd'hui.

Taux équivalents

$(1+t_{mensuel})^{12} = (1+t_{annuel}) \ \Longrightarrow \ t_{mensuel} = (1+t_{annuel})^{1/12} - 1$

Erreurs fréquentes

Appliquer la formule des intérêts simples (multiplication par n) au lieu de la formule des intérêts composés (exposant n) pour un placement sur plusieurs périodes.

Confondre valeur acquise (capitalisation, on avance dans le temps) et valeur actuelle (actualisation, on revient dans le temps) — ce sont deux opérations inverses l'une de l'autre.

Se tromper en calculant un taux équivalent : élever (1+ta) à la puissance 1/12 pour un taux mensuel, et non diviser le taux annuel par 12 (ce qui ne serait valable qu'en intérêts simples).

Oublier d'utiliser le logarithme pour isoler n lorsque la durée du placement est l'inconnue recherchée dans Cn = C0(1+t)^n.

Négliger l'effet cumulatif de la capitalisation composée sur de longues durées, en estimant à tort une croissance simplement proportionnelle au nombre de périodes.

Exemple corrigé — Taux mensuel équivalent

Énoncé

Un placement rapporte un taux annuel de $12{,}68\%$ . Calculer le taux mensuel équivalent.

Correction

$t_{mensuel} = (1+t_{annuel})^{1/12} - 1 = (1{,}1268)^{1/12} - 1 \approx 1{,}01 - 1 = 0{,}01$ .

Le taux mensuel équivalent est d'environ 1 %, ce qui vérifie bien $(1{,}01)^{12} \approx 1{,}1268$ .

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un capital de 20 000 dirhams est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 % pendant 3 ans. Calculer la valeur acquise.

Voir la correction

$C_n = C_0(1+t)^n = 20\,000 \times (1{,}05)^3 = 20\,000 \times 1{,}157625 \approx 23\,152{,}50$ dirhams.

Exercice 2

Moyen

Quel capital faut-il placer aujourd'hui, à intérêts composés au taux annuel de 6 %, pour disposer de 50 000 dirhams dans 4 ans ?

Voir la correction

$C_0 = \dfrac{C_n}{(1+t)^n} = \dfrac{50\,000}{(1{,}06)^4} = \dfrac{50\,000}{1{,}26247664} \approx 39\,605{,}30$ dirhams.

Exercice 3

Difficile

Un capital de 15 000 dirhams, placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %, doit atteindre une valeur acquise de 18 243,80 dirhams. Calculer la durée du placement (en années), en utilisant le logarithme.

Voir la correction

$C_n = C_0(1+t)^n \Rightarrow (1{,}04)^n = \dfrac{18\,243{,}80}{15\,000} = 1{,}21625\overline{3}$ . En passant au logarithme : $n = \dfrac{\ln(1{,}216253)}{\ln(1{,}04)} \approx \dfrac{0{,}1958}{0{,}03922} \approx 5$ . La durée du placement est de 5 ans.

3 exercices, c'est un début.

Orka en génère autant que tu veux sur ce chapitre, à ton niveau, avec correction détaillée étape par étape.

Continue gratuitement sur Orka

Va plus loin sur ce chapitre

50+ exercices interactifs sur ce chapitre

Générés et corrigés étape par étape par l'IA, à ton niveau.

Connexion requise

Quiz IA adaptatif

Questions qui s'ajustent automatiquement à tes réussites et erreurs.

Connexion requise

Corrigés d'annales sur ce chapitre

Sujets d'examens nationaux et régionaux déjà tombés.

Connexion requise

Plan de révision personnalisé

Priorise ce chapitre selon ta progression réelle sur toute la filière.

Premium

Flashcards du chapitre

Formules et définitions clés en mode révision rapide.

Premium

Tuteur IA en Darija

Pose tes questions sur ce chapitre et obtiens une explication immédiate.

Premium

Questions fréquentes

Pourquoi la capitalisation composée fait-elle croître un capital plus vite que les intérêts simples ?

Parce qu'à chaque période, l'intérêt de la période précédente est ajouté au capital et produit lui-même des intérêts les périodes suivantes (« les intérêts produisent des intérêts »). En intérêts simples, seul le capital initial produit des intérêts, période après période, sans effet cumulatif.

Qu'est-ce que la valeur actuelle d'un capital en intérêts composés ?

La valeur actuelle C0 est le capital qu'il faudrait placer aujourd'hui, à un taux t donné, pour obtenir une valeur acquise Cn connue dans n périodes. Elle s'obtient en isolant C0 dans la formule de capitalisation : C0 = Cn / (1+t)^n — c'est l'opération inverse de la capitalisation, appelée actualisation.

Qu'est-ce qu'un taux équivalent en intérêts composés ?

Deux taux relatifs à des périodes différentes (par exemple un taux annuel et un taux mensuel) sont dits équivalents s'ils produisent, en intérêts composés, la même valeur acquise sur une durée identique. Un taux mensuel équivalent tm à un taux annuel ta vérifie (1+tm)^12 = (1+ta), soit tm = (1+ta)^(1/12) − 1.