Les Annuités — Valeur Acquise et Valeur Actuelle (Bac Éco)

Objectifs d'apprentissage

Définir une suite d'annuités constantes et ses deux usages : épargne et remboursement
Calculer la valeur acquise d'une suite d'annuités constantes de fin de période
Calculer la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes de fin de période
Isoler l'annuité connaissant la valeur acquise ou la valeur actuelle visée
Relier la valeur actuelle des annuités au montant empruntable pour un remboursement par annuités constantes

Formules et résultats clés

Valeur acquise d'une suite d'annuités constantes

Pour n annuités constantes a, versées en fin de chaque période, au taux t, la valeur acquise à la date du dernier versement vaut :

V_n = a \times \dfrac{(1+t)^n - 1}{t}

Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes

$V_0 = a \times \dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t}$

$V_0$ est le capital équivalent aujourd'hui à toute la suite des n annuités futures — c'est exactement le montant qu'une banque est prête à prêter si l'emprunteur s'engage à rembourser n annuités constantes a au taux t.

Erreurs fréquentes

Confondre valeur acquise (capital constitué à la date du dernier versement) et valeur actuelle (capital équivalent à aujourd'hui, avant le premier versement) — elles ne se calculent pas avec la même formule.

Oublier que la formule standard suppose des annuités versées en fin de période (annuités de fin de période) ; une annuité versée en début de période nécessite un ajustement (multiplication par (1+t)).

Se tromper de signe ou d'exposant dans la formule de la valeur actuelle, notamment sur le terme (1+t)⁻ⁿ.

Oublier de vérifier que le taux et la périodicité des annuités sont exprimés dans la même unité de temps (ne pas mélanger annuités annuelles et taux mensuel, par exemple).

Croire que la valeur acquise d'une suite d'annuités est simplement le produit de l'annuité par le nombre de versements (n × a) — cela ignore totalement la capitalisation des intérêts.

Exemple corrigé — Valeur acquise et valeur actuelle

Énoncé

Une personne verse 8 000 dirhams à la fin de chaque année pendant 5 ans, sur un compte au taux de 4,5 %. Calculer la valeur acquise à la fin de la 5ème année, puis la valeur actuelle de cette suite d'annuités (aujourd'hui, avant le premier versement).

Correction

$V_5 = 8\,000 \times \dfrac{(1{,}045)^5-1}{0{,}045} = 8\,000 \times \dfrac{1{,}24618-1}{0{,}045} = 8\,000 \times 5{,}4707 \approx 43\,765{,}60$ dirhams.

$V_0 = 8\,000 \times \dfrac{1-(1{,}045)^{-5}}{0{,}045} = 8\,000 \times \dfrac{1-0{,}80245}{0{,}045} = 8\,000 \times 4{,}3900 \approx 35\,120$ dirhams.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Une personne verse 5 000 dirhams à la fin de chaque année, pendant 4 ans, sur un compte rémunéré à 4 % par an. Calculer la valeur acquise de cette épargne à la date du dernier versement.

Voir la correction

$V_n = a \times \dfrac{(1+t)^n - 1}{t} = 5\,000 \times \dfrac{(1{,}04)^4 - 1}{0{,}04} = 5\,000 \times \dfrac{1{,}16986 - 1}{0{,}04} = 5\,000 \times 4{,}2465 \approx 21\,232{,}50$ dirhams.

Exercice 2

Moyen

Quelle annuité constante faut-il verser en fin de chaque année, pendant 5 ans, sur un compte au taux de 5 %, pour disposer de 60 000 dirhams à la fin de la 5ème année ?

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$V_n = a \times \dfrac{(1+t)^n-1}{t} \Rightarrow a = \dfrac{V_n \times t}{(1+t)^n - 1} = \dfrac{60\,000 \times 0{,}05}{(1{,}05)^5 - 1} = \dfrac{3\,000}{1{,}27628 - 1} = \dfrac{3\,000}{0{,}27628} \approx 10\,858$ dirhams.

Exercice 3

Difficile

Une entreprise souhaite emprunter une somme qu'elle remboursera par 6 annuités constantes de 20 000 dirhams, versées en fin de chaque année, au taux de 6 %. Calculer le montant maximal empruntable aujourd'hui (valeur actuelle de la suite d'annuités).

Voir la correction

$V_0 = a \times \dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t} = 20\,000 \times \dfrac{1-(1{,}06)^{-6}}{0{,}06} = 20\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}704961}{0{,}06} = 20\,000 \times \dfrac{0{,}295039}{0{,}06} \approx 20\,000 \times 4{,}9173 \approx 98\,346$ dirhams.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une annuité constante ?

Une annuité est un versement périodique (généralement annuel) de montant identique, réalisé pendant n périodes consécutives, dans un but d'épargne (constitution d'un capital) ou de remboursement (d'un emprunt). Le terme « annuité » est utilisé même lorsque la périodicité n'est pas strictement annuelle (mensualité, semestrialité).

Quelle est la différence entre la valeur acquise et la valeur actuelle d'une suite d'annuités ?

La valeur acquise est le capital constitué à la date du dernier versement, en supposant que chaque annuité placée capitalise des intérêts composés jusqu'à cette date — utile pour un plan d'épargne. La valeur actuelle est le capital équivalent à la date d'aujourd'hui (juste avant le premier versement) de toute la suite d'annuités — utile pour déterminer le montant empruntable compte tenu d'un remboursement futur par annuités constantes.

Pourquoi la formule de la valeur actuelle des annuités sert-elle à calculer un emprunt ?

Le montant emprunté aujourd'hui doit être équivalent, en valeur actuelle, à la suite des remboursements futurs (annuités constantes) que l'emprunteur s'engage à verser. C'est exactement ce que calcule la formule de la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes, ce qui en fait l'outil de base du chapitre suivant sur les emprunts indivis.