Les Emprunts Indivis — Tableau d'Amortissement (Bac Éco)

Objectifs d'apprentissage

Définir un emprunt indivis et le distinguer d'un emprunt obligataire
Calculer l'annuité constante d'un emprunt remboursable par annuités constantes
Construire un tableau d'amortissement d'emprunt (capital restant dû, intérêt, amortissement, annuité)
Appliquer la relation fondamentale Annuité = Amortissement + Intérêt à chaque ligne du tableau
Distinguer remboursement par annuités constantes et remboursement par amortissements constants

Formules et résultats clés

Annuité constante d'un emprunt indivis

Le capital emprunté $C_0$ est équivalent, en valeur actuelle, à la suite des n annuités constantes a versées au taux t (voir chapitre précédent) :

a = \dfrac{C_0 \times t}{1-(1+t)^{-n}}

Relation fondamentale du tableau d'amortissement

$\text{Annuité} = \text{Amortissement} + \text{Intérêt}$

$\text{Intérêt de la période} = \text{Capital restant dû (début de période)} \times t$

$\text{CRD (fin de période)} = \text{CRD (début de période)} - \text{Amortissement}$

Deux modes de remboursement existent : par annuités constantes (l'annuité totale ne change pas, mais la part d'intérêt diminue et la part d'amortissement augmente chaque période), ou par amortissements constants(l'amortissement ne change pas, donc l'annuité totale diminue chaque période puisque l'intérêt diminue).

Erreurs fréquentes

Calculer l'intérêt de la période sur le capital emprunté initial au lieu du capital restant dû en début de période — l'intérêt diminue à chaque période car le CRD diminue.

Oublier la relation Annuité = Amortissement + Intérêt et tenter de calculer l'amortissement sans passer par cette égalité.

Confondre remboursement par annuités constantes (l'annuité totale ne change pas, mais amortissement et intérêt varient chaque période) et remboursement par amortissements constants (l'amortissement ne change pas, mais l'annuité totale diminue avec l'intérêt).

Ne pas vérifier, en fin de tableau, que le capital restant dû après la dernière annuité est bien égal à zéro (à un arrondi près) — c'est le test de cohérence du tableau.

Oublier que la somme de tous les amortissements du tableau doit être égale au capital initialement emprunté.

Exemple corrigé — Tableau d'amortissement par annuités constantes

Énoncé

Un emprunt indivis de 50 000 dirhams est remboursable en 3 annuités constantes, au taux de 8 %. Calculer l'annuité constante, puis établir le tableau d'amortissement complet.

Correction

$a = \dfrac{50\,000 \times 0{,}08}{1-(1{,}08)^{-3}} = \dfrac{4\,000}{1-0{,}793832} = \dfrac{4\,000}{0{,}206168} \approx 19\,401$ dirhams.

Année	CRD début	Intérêt	Amortissement	Annuité	CRD fin
1	50 000	4 000	15 401	19 401	34 599
2	34 599	2 768	16 633	19 401	17 966
3	17 966	1 437	17 964	19 401	≈ 0

Vérification : la somme des amortissements (15 401 + 16 633 + 17 964 ≈ 49 998, écart d'arrondi) est bien égale au capital emprunté de 50 000 dirhams.

3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un emprunt indivis de 100 000 dirhams est remboursable par 4 annuités constantes, au taux de 6 %. Calculer le montant de l'annuité constante.

Voir la correction

$a = \dfrac{C_0 \times t}{1-(1+t)^{-n}} = \dfrac{100\,000 \times 0{,}06}{1-(1{,}06)^{-4}} = \dfrac{6\,000}{1-0{,}792094} = \dfrac{6\,000}{0{,}207906} \approx 28\,859$ dirhams.

Exercice 2

Moyen

Pour l'emprunt de 100 000 dirhams ci-dessus (taux 6 %, annuité constante ≈ 28 859 dirhams), calculer l'intérêt et l'amortissement de la 1ère annuité, puis le capital restant dû après cette 1ère annuité.

Voir la correction

Intérêt 1 = $100\,000 \times 0{,}06 = 6\,000$ dirhams. Amortissement 1 = Annuité − Intérêt = $28\,859 - 6\,000 = 22\,859$ dirhams. CRD après annuité 1 = $100\,000 - 22\,859 = 77\,141$ dirhams.

Exercice 3

Difficile

Un emprunt de 60 000 dirhams est remboursé en 3 ans par amortissements constants, au taux de 5 %. Établir le tableau d'amortissement complet (CRD début, intérêt, amortissement, annuité, CRD fin) pour les 3 années.

Voir la correction

Amortissement constant = $60\,000/3 = 20\,000$ dirhams chaque année. Année 1 : CRD début 60 000, intérêt $60\,000\times0{,}05=3\,000$ , annuité $=20\,000+3\,000=23\,000$ , CRD fin 40 000. Année 2 : CRD début 40 000, intérêt $40\,000\times0{,}05=2\,000$ , annuité $=22\,000$ , CRD fin 20 000. Année 3 : CRD début 20 000, intérêt $20\,000\times0{,}05=1\,000$ , annuité $=21\,000$ , CRD fin 0. On observe que l'annuité totale diminue chaque année (23 000 → 22 000 → 21 000), à l'inverse du remboursement par annuités constantes.

3 exercices, c'est un début.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un emprunt indivis ?

Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès d'un seul prêteur (par exemple une banque), par opposition à un emprunt obligataire divisé en plusieurs titres souscrits par de nombreux prêteurs. Il est remboursé selon un tableau d'amortissement établi à l'avance, le plus souvent par annuités constantes ou par amortissements constants.

Comment calculer l'annuité constante d'un emprunt indivis ?

L'annuité constante a se calcule à partir du capital emprunté C0, du taux t et du nombre de périodes n, avec la formule a = C0 × t / [1-(1+t)^-n] — c'est exactement l'inverse de la formule de la valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes vue au chapitre précédent.

Quelle est la relation entre annuité, amortissement et intérêt dans le tableau d'amortissement ?

À chaque période : Annuité = Amortissement + Intérêt. L'intérêt de la période se calcule toujours sur le capital restant dû en début de période (Intérêt = CRD × t), et le capital restant dû diminue à chaque période du montant de l'amortissement versé.