OrkaOrka/البكالوريا/العلوم والتكنولوجيات الميكانيكية
الرياضيات · Bac STM · المعامل 7

الدوال الأسية — درس الرياضيات لبكالوريا العلوم والتكنولوجيات الميكانيكية

الدالة $exp$ العكسية للدالة $ln$: الخاصية $e^{a+b}=e^ae^b$، ومشتقتها التي تساوي نفسها، ونهاياتها ونموها المقارن، واستعمالها في دراسة الدوال والمعادلات التفاضلية.

راجعه Équipe Orka · 29 غشت 2026

ضمن برنامج بكالوريا STM

يدرس فصل الدوال الأسية ضمن برنامج الرياضيات لشعبة العلوم والتكنولوجيات الميكانيكية. وتعاد مفاهيمه في دراسة الدوال وحل المسائل وتمارين الامتحان الوطني.

في الامتحان

ترد غالباً في دراسة دالة من الشكل $f(x)=(ax+b)e^x$ أو $f(x)=e^x/x$: الاشتقاق والإشارة والنهايات والمقاربات. وقد يطلب حل معادلة مثل $e^{2x}-3e^x+2=0$ بتغيير المجهول $X=e^x$.

أهداف التعلم

  • استعمال الخاصية $e^{a+b}=e^ae^b$ والرتابة الصارمة للدالة الأسية
  • اشتقاق دالة تحتوي على $e^u$ ودراسة تغيراتها
  • حساب نهايات الدالة الأسية واستعمال نتائج النمو المقارن
  • حل معادلة أو متراجحة أسية، عند الحاجة، بتغيير المجهول
  • إنجاز دراسة كاملة لدالة تتضمن $e^x$

المفاهيم الأساسية

الخصائص الأساسية

لكل عددين حقيقيين a,ba,b: ea+b=eaebe^{a+b}=e^ae^b، وe−a=dfrac1eae^{-a}=dfrac1{e^a}، و(ea)n=ena(e^a)^n=e^{na}. كما أن e0=1e^0=1 وex>0e^x>0. والدالة expexp متزايدة تماماً: ea=ebiffa=be^a=e^biff a=b. وأخيراً ln(ex)=xln(e^x)=x وelnx=xe^{ln x}=x لكل x>0x>0.

المشتقة والنهايات

لدينا (ex)′=ex(e^x)'=e^x وig(e^uig)'=u'e^u. كذلك displaystylelimxo−inftyex=0+displaystylelim_{x o-infty}e^x=0^+ وdisplaystylelimxo+inftyex=+inftydisplaystylelim_{x o+infty}e^x=+infty.

النمو المقارن

displaystylelimxo+inftydfracexxn=+inftydisplaystylelim_{x o+infty}dfrac{e^x}{x^n}=+infty لكل ninmathbbNninmathbb N، وdisplaystylelimxo−inftyxex=0displaystylelim_{x o-infty}xe^x=0. عند +infty+infty تنمو الدالة الأسية أسرع من كل قوة للمتغير xx.

الأخطاء الشائعة

1

كتابة $e^{a+b}=e^a+e^b$؛ والصحيح هو $e^{a+b}=e^a imes e^b$.

2

نسيان العامل $u'$ في الصيغة $(e^u)'=u'e^u$؛ فمثلاً $(e^{3x})'=3e^{3x}$.

3

الاعتقاد أن العامل $e^u$ قد يغير الإشارة أو يقلب متراجحة؛ فهو موجب تماماً لكل قيمة حقيقية لـ$u$.

مثال محلول

نص السؤال

حل في mathbbRmathbb R المعادلة e2x−3ex+2=0e^{2x}-3e^x+2=0.

التصحيح

تغيير المجهول. نضع X=exX=e^x مع الشرط X>0X>0، فتصبح المعادلة X2−3X+2=0X^2-3X+2=0.
الحل بدلالة XX. لدينا (X−1)(X−2)=0(X-1)(X-2)=0، ومنه X=1X=1 أو X=2X=2، وكلاهما موجب.
الرجوع إلى xx. من ex=1e^x=1 نجد x=0x=0، ومن ex=2e^x=2 نجد x=ln2x=ln2.
الاستنتاج. S=0,;ln2S={0,;ln2}.

افهم الدرس، ثم تدرب.

ينشئ Orka تمارين غير محدودة وامتحانات تجريبية مصححة تغطي برنامج الرياضيات في بكالوريا STM، مع تتبع تقدمك درساً بعد درس.

تابع مجاناً مع Orka

3 تمارين للتدرب

التمرين 1

سهل
حل المعادلة ex2−1=1e^{x^2-1}=1.
عرض التصحيح
ex2−1=e0e^{x^2-1}=e^0، وبحقن الدالة expexp نحصل على x2−1=0x^2-1=0، أي x=1x=1 أو x=−1x=-1. إذن S=−1,;1S={-1,;1}.

التمرين 2

متوسط
لتكن f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x. احسب f′(x)f'(x) وادرس إشارتها وتغيرات ff، ثم حدد نهايتها عند −infty-infty.
عرض التصحيح
f′(x)=ex+(x−1)ex=xexf'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x ولها إشارة xx. إذن ff متناقصة على ]−infty,0]]-infty,0] ومتزايدة على [0,+infty[[0,+infty[، وقيمتها الدنيا f(0)=−1f(0)=-1. وبما أن xexo0xe^x o0 وexo0e^x o0 عند −infty-infty، فإن f(x)o0f(x) o0.

التمرين 3

صعب
أثبت أن exgex+1e^xge x+1 لكل xinmathbbRxinmathbb R، وأن المساواة تتحقق فقط عند x=0x=0.
عرض التصحيح
نضع arphi(x)=e^x-x-1. لدينا arphi'(x)=e^x-1؛ وهي سالبة على ]−infty,0[]-infty,0[ وموجبة على ]0,+infty[]0,+infty[. إذن القيمة الدنيا هي arphi(0)=0، ومنه exgex+1e^xge x+1، ولا تتحقق المساواة إلا عند x=0x=0.

تعمق أكثر في هذا الدرس

أكثر من 50 تمريناً تفاعلياً في هذا الدرس

تمارين يولدها الذكاء الاصطناعي ويصححها خطوة بخطوة حسب مستواك.

تسجيل الدخول مطلوب

اختبار ذكي متكيف

أسئلة تتكيف تلقائياً مع إجاباتك الصحيحة وأخطائك.

تسجيل الدخول مطلوب

تصحيح امتحانات سابقة مرتبطة بالدرس

مواضيع من الامتحانات الوطنية والجهوية السابقة.

تسجيل الدخول مطلوب

خطة مراجعة شخصية

ترتب أولوية هذا الدرس حسب تقدمك الحقيقي في الشعبة.

Premium

بطاقات مراجعة الدرس

الصيغ والتعريفات الأساسية لمراجعة سريعة.

Premium

مدرس ذكي بالدارجة

اطرح أسئلتك حول الدرس واحصل على شرح فوري.

Premium

الأسئلة الشائعة

ما تغيير المجهول المناسب لمعادلة أسية؟

إذا لم تتضمن المعادلة إلا $e^x$ وقواه، نضع $X=e^x$ مع $X>0$، ثم نحل بدلالة $X$ ونرجع إلى $x$ باستعمال $x=ln X$.

إلى ماذا تؤول $e^x/x^n$ عند $+infty$؟

تؤول إلى $+infty$ لأن الدالة الأسية تنمو أسرع من كل قوة لـ$x$. وبالمقابل $x^n/e^x o0$ عند $+infty$ و$x^ne^x o0$ عند $-infty$.

هل يمكن أن تتغير إشارة $e^u$؟

لا، فلدينا دائماً $e^u>0$. لذلك لا يغير هذا العامل إشارة جداء أو خارج، ولا يقلب المتراجحة عند القسمة عليه.

اقرأ أيضاً

المعادلات التفاضلية — بكالوريا العلوم والتكنولوجيات الميكانيكيةالدوال اللوغاريتمية — بكالوريا العلوم والتكنولوجيات الميكانيكيةبرنامج الرياضيات ومواضيع البكالوريا المغربية