النهايات والاتصال — درس الرياضيات لبكالوريا العلوم الفيزيائية

ضمن برنامج بكالوريا PC

معامل الرياضيات 7 في شعبة العلوم الفيزيائية، وهو نفس معامل الفيزياء والكيمياء. يفتتح درس النهايات برنامج التحليل المكوّن من 11 فصلاً، ويعاد استعماله في دراسة الدوال والدوال اللوغاريتمية والأسية والتكامل.

في الامتحان

نادراً ما تأتي النهايات في تمرين مستقل؛ غالباً تندمج في دراسة دالة لتحديد الفروع اللانهائية والمقاربات. وتستعمل مبرهنة القيم المتوسطة لإثبات وجود حل للمعادلة f(x)=0، ثم وحدانيته باستعمال الرتابة الصارمة، وأحياناً تأطيره بالتقريب.

أهداف التعلم

حساب نهاية دالة عند عدد حقيقي أو عند اللانهاية باستعمال النهايات الاعتيادية وعمليات النهايات
رفع الأشكال غير المحددة 0/0 و∞/∞ و∞−∞ و0×∞ بالتحليل أو الكمية المرافقة أو الحد الغالب
تحديد المقاربات العمودية والأفقية والمائلة لمنحنى دالة
دراسة اتصال دالة عند نقطة وعلى مجال، والتعرف إلى التمديد بالاتصال
تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة لإثبات وجود حل للمعادلة f(x)=k ووحدانيته

المفاهيم الأساسية

النهايات الاعتيادية والعمليات

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty

، و

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0

، و

\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty

. بالنسبة إلى دالة كسرية، تساوي النهاية عند

\pm\infty

نهاية نسبة الحدين من أعلى درجة.

الأشكال غير المحددة

الحالات الأربع هي:

\dfrac{0}{0}

\dfrac{\infty}{\infty}

\infty-\infty

0\times\infty

. نرفعها باستخراج الحد الغالب عاملاً مشتركاً، أو الضرب في الكمية المرافقة عند وجود الجذور، أو التعرف إلى معدل التغير

\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\right)

المقاربات

يكون

x=a

مقارباً عمودياً إذا كانت

\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty

. ويكون

y=\ell

مقارباً أفقياً إذا كانت

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell

. ويكون

y=ax+b

مقارباً مائلاً إذا كانت

\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0

، حيث

a=\lim\frac{f(x)}{x}

ثم

b=\lim\big(f(x)-ax\big)

مبرهنة القيم المتوسطة

إذا كانت

f

متصلة على

[a,b]

وكان

k

محصوراً بين

f(a)

f(b)

، فإن المعادلة

f(x)=k

تقبل حلاً واحداً على الأقل في

[a,b]

. وإذا كانت

f

إضافة إلى ذلك رتيبة تماماً فإن هذا الحل وحيد.

الأخطاء الشائعة

كتابة «∞−∞=0»؛ فهذا شكل غير محدد، ويجب التحليل أو استعمال الكمية المرافقة قبل استنتاج النهاية.

تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة من دون التحقق من اتصال الدالة f على المجال كله.

استنتاج وحدانية الحل من دون إثبات الرتابة الصارمة؛ فمبرهنة القيم المتوسطة وحدها تثبت الوجود فقط.

مثال محلول

نص السؤال

لتكن

f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1}

. حدد

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)

ثم

\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)

التصحيح

النهاية عند $+\infty$ . نستخرج

x^2

عاملاً مشتركاً:

f(x)=\dfrac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}

. بما أن

\frac{1}{x}

\frac{1}{x^2}

يؤولان إلى

0

، فإن

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2

، ومن ثم فالمستقيم

y=2

مقارب أفقي.

النهاية عند $1$ . نحصل على الشكل

\frac{0}{0}

. نحلل:

2x^2-3x+1=(x-1)(2x-1)

x^2-1=(x-1)(x+1)

عندما

x\neq 1

f(x)=\dfrac{(x-1)(2x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2x-1}{x+1}

إذن

\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{2(1)-1}{1+1}=\dfrac{1}{2}

. ويمكن تمديد

f

بالاتصال عند

1

بإسناد القيمة

\frac{1}{2}

إليها.

افهم الدرس، ثم تدرب.

ينشئ Orka تمارين غير محدودة وامتحانات تجريبية مصححة تغطي برنامج الرياضيات في بكالوريا PC، مع تتبع تقدمك درساً بعد درس.

تابع مجاناً مع Orka

3 تمارين للتدرب

التمرين 1

سهل

احسب

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)

عرض التصحيح

لدينا الشكل

\infty-\infty

. نستعمل الكمية المرافقة:

\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}

. عندما

x>0

نستخرج

x

فنحصل على

\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}

، ومنه النهاية تساوي

\dfrac{1}{2}

التمرين 2

متوسط

حدد المقارب المائل للدالة

g(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}

عند

+\infty

عرض التصحيح

بالقسمة الإقليدية:

x^2+x+1=(x-1)(x+2)+3

، ومنه

g(x)=x+2+\dfrac{3}{x-1}

. وبما أن

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x-1}=0

، فإن المستقيم

y=x+2

مقارب مائل عند

+\infty

وكذلك عند

-\infty

التمرين 3

صعب

أثبت أن المعادلة

x^3+x-1=0

تقبل حلاً حقيقياً وحيداً

\alpha

، وأن

\alpha\in\,]0\,;1[

عرض التصحيح

h(x)=x^3+x-1

دالة حدودية، فهي متصلة وقابلة للاشتقاق على

\mathbb{R}

. ولدينا

h'(x)=3x^2+1>0

، إذن

h

متزايدة تماماً. كما أن

h(0)=-1<0

h(1)=1>0

؛ لذلك تضمن مبرهنة القيم المتوسطة وجود حل

\alpha\in]0,1[

، وتضمن الرتابة الصارمة وحدانيته.

تعمق أكثر في هذا الدرس

أكثر من 50 تمريناً تفاعلياً في هذا الدرس

تمارين يولدها الذكاء الاصطناعي ويصححها خطوة بخطوة حسب مستواك.

تسجيل الدخول مطلوب

اختبار ذكي متكيف

أسئلة تتكيف تلقائياً مع إجاباتك الصحيحة وأخطائك.

تسجيل الدخول مطلوب

تصحيح امتحانات سابقة مرتبطة بالدرس

مواضيع من الامتحانات الوطنية والجهوية السابقة.

تسجيل الدخول مطلوب

خطة مراجعة شخصية

ترتب أولوية هذا الدرس حسب تقدمك الحقيقي في الشعبة.

Premium

بطاقات مراجعة الدرس

الصيغ والتعريفات الأساسية لمراجعة سريعة.

Premium

مدرس ذكي بالدارجة

اطرح أسئلتك حول الدرس واحصل على شرح فوري.

Premium

الأسئلة الشائعة

ما طريقة حساب نهاية دالة كسرية عند اللانهاية؟

نقارن الحدين من أعلى درجة. إذا تساوت الدرجتان فالنهاية هي نسبة المعاملين الغالبين؛ وإذا كانت درجة البسط أكبر فالنهاية تساوي ±∞ حسب الإشارة؛ وإذا كانت درجة البسط أصغر فالنهاية تساوي 0.

هل مبرهنة القيم المتوسطة مقررة في شعبة العلوم الفيزيائية؟

نعم، وهي نتيجة أساسية في تحليل الثانية بكالوريا. تستعمل خصوصاً لإثبات أن معادلة f(x)=0 تقبل حلاً على مجال قبل تحديد تأطير له أو قيمة تقريبية.

ما الفرق بين الاتصال وقابلية الاشتقاق؟

كل دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة تكون متصلة عندها، لكن العكس غير صحيح؛ فالدالة x↦|x| متصلة عند 0 وغير قابلة للاشتقاق عنده. نثبت الاتصال قبل تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة، ونثبت قابلية الاشتقاق قبل دراسة التغيرات.