Systèmes mécaniques oscillants — Cours Physique Bac SVT

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 5 en Bac SVT, derrière les Mathématiques et la SVT (coefficient 7). Programme allégé en 23 chapitres : dipôles RC et RL, oscillations libres RLC, lois de Newton, chute libre, mouvements plans et oscillateurs mécaniques — sans RLC en régime sinusoïdal forcé, satellites, rotation ni particules chargées. L'oscillateur mécanique est l'analogue du circuit RLC libre : même équation, même notion de période propre.

À l'épreuve

Établissement de l'équation différentielle par la 2ᵉ loi de Newton, identification de $\omega_0$ et de la période propre ($T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ pour le pendule élastique, $T_0=2\pi\sqrt{\ell/g}$ pour le pendule simple), détermination de $k$, description de l'amortissement.

Objectifs d'apprentissage

Établir l'équation différentielle d'un pendule élastique (ẍ + ω₀²x = 0)
Calculer la période propre T₀ = 2π√(m/k)
Connaître le pendule simple : T₀ = 2π√(ℓ/g) pour les petites oscillations
Décrire un régime amorti (pseudo-période, amplitude décroissante)
Déterminer une constante de raideur k à partir d'une période mesurée

Notions clés

Pendule élastique

Solide de masse

m

sur ressort de raideur

k

, sur plan horizontal sans frottement. La 2ᵉ loi donne

m\ddot x+k\,x=0

, soit

\ddot x+\omega_0^{2}x=0

avec

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

. Solution :

x(t)=X_m\cos(\omega_0 t+\varphi)

Période propre

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

(pendule élastique). Pour un pendule simple de longueur

\ell

, aux petites oscillations :

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}

(indépendante de la masse et de l'amplitude).

Amortissement

Avec des frottements, les oscillations sont pseudo-périodiques : l'amplitude décroît et la pseudo-période

T

est légèrement supérieure à

T_0

. Un amortissement fort donne un régime apériodique (pas d'oscillation).

La résonance mécanique

Lorsqu'un excitateur impose à un oscillateur (le résonateur) des oscillations forcées de période

T_e

, l'amplitude des oscillations dépend de

T_e

: elle est maximale quand

T_e

est voisine de la période propre

T_0

de l'oscillateur. C'est la résonance mécanique. Plus l'amortissement est faible, plus la résonance est aiguë (amplitude élevée, pic étroit) ; un amortissement important l'atténue. Elle est utile (caisse de résonance d'un instrument) ou dangereuse (pont ou machine mis en vibration) : on la limite alors par des amortisseurs.

Erreurs fréquentes

Écrire T₀ = 2π√(k/m) au lieu de 2π√(m/k).

Faire dépendre la période du pendule simple de la masse.

Oublier la condition « petites oscillations » pour le pendule simple.

Confondre pulsation propre ω₀ (rad/s) et fréquence propre N₀ (Hz).

Exemple corrigé

Énoncé

Un pendule élastique horizontal comporte un solide de masse

m=200\ \text{g}

et un ressort de raideur

k=20\ \text{N/m}

. Calculer la pulsation propre et la période propre.

Correction

Pulsation propre.

\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{20}{0{,}200}}=\sqrt{100}=10\ \text{rad/s}

Période propre.

T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=\dfrac{2\pi}{10}\approx 0{,}63\ \text{s}

On retrouve

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\sqrt{0{,}010}\approx 0{,}63\ \text{s}

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Calculer la période propre d'un pendule élastique avec

m=0{,}50\ \text{kg}

k=50\ \text{N/m}

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}50}{50}}=2\pi\sqrt{0{,}010}\approx 0{,}63\ \text{s}

Exercice 2

Moyen

Un pendule simple a une longueur

\ell=1{,}0\ \text{m}

(

g=10\ \text{m/s}^{2}

). Calculer sa période propre. Quelle longueur donnerait une période double ?

Voir la correction

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}=2\pi\sqrt{0{,}10}\approx 0{,}63\ \text{s}

. Comme

T_0\propto\sqrt{\ell}

, doubler

T_0

exige

\ell'=4\ell=4{,}0\ \text{m}

Exercice 3

Difficile

On mesure

10

oscillations d'un pendule élastique en

8{,}0\ \text{s}

, avec une masse

m=0{,}10\ \text{kg}

. Déterminer la raideur

k

du ressort.

Voir la correction

Période propre :

T_0=\dfrac{8{,}0}{10}=0{,}80\ \text{s}

. De

T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\dfrac{T_0}{2\pi}=0{,}127

, donc

\dfrac{m}{k}=0{,}0162

k=\dfrac{0{,}10}{0{,}0162}\approx 6{,}2\ \text{N/m}

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que la période propre ?

La période des oscillations libres non amorties du système. Elle ne dépend que des caractéristiques du système (m et k pour le pendule élastique, ℓ et g pour le pendule simple).

Qu'apporte l'amortissement ?

Il fait décroître l'amplitude au cours du temps et allonge légèrement la période (pseudo-période). S'il est fort, le système revient à l'équilibre sans osciller (régime apériodique).

La période du pendule simple dépend-elle de la masse ?

Non : T₀ = 2π√(ℓ/g). Aux petites oscillations, elle ne dépend ni de la masse ni de l'amplitude, seulement de la longueur et de g.