Décroissance radioactive — Cours Physique Bac SVT

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 5 en Bac SVT, comme en Agro, STE et STM et derrière les Mathématiques et la SVT (coefficient 7). Programme allégé en 23 chapitres : sans RLC en régime sinusoïdal forcé, ondes électromagnétiques, modulation, satellites, rotation, atome ni électrolyse. La décroissance radioactive introduit le noyau atomique et prépare l'étude « Noyaux, masse et énergie ».

À l'épreuve

Écriture d'une équation de désintégration avec les lois de Soddy (conservation de $A$ et de $Z$), exploitation de $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ et $A(t)=A_0e^{-\lambda t}$, calcul de $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$, et datation (rapport $\dfrac{A}{A_0}$).

Objectifs d'apprentissage

Reconnaître les radioactivités α, β⁻, β⁺ et l'émission γ
Écrire une équation de désintégration en conservant A et Z (lois de Soddy)
Utiliser la loi de décroissance N(t) = N₀·e^(−λt)
Relier constante radioactive λ et demi-vie : t½ = ln2/λ
Calculer une activité A = λ·N et l'utiliser pour dater un échantillon

Notions clés

Types de radioactivité

\alpha

: émission d'un noyau

^{4}_{2}\text{He}

\beta^{-}

: émission d'un électron

^{0}_{-1}\text{e}

(un neutron devient proton).

\beta^{+}

: émission d'un positon

^{0}_{+1}\text{e}

\gamma

: émission d'un photon (désexcitation du noyau). Lois de Soddy :

A

Z

se conservent.

Loi de décroissance

N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}

où

\lambda

est la constante radioactive (en s⁻¹). L'activité

A(t)=\lambda N(t)=A_0\,e^{-\lambda t}

s'exprime en becquerels (Bq = désintégration/s).

Demi-vie

La demi-vie

t_{1/2}

est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés :

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}

. Après

n

demi-vies,

N=\dfrac{N_0}{2^{n}}

Composition du noyau, isotopes et diagramme (N,Z)

Un noyau

{}^{A}_{Z}X

contient

Z

protons et

N = A - Z

neutrons ;

A

est le nombre de nucléons. Des isotopes ont le même

Z

(même élément) mais des nombres de neutrons différents :

{}^{12}_{6}C

{}^{14}_{6}C

, ou

{}^{235}_{92}U

{}^{238}_{92}U

. Le diagramme (N,Z) (diagramme de Segrè) place chaque noyau selon son nombre de protons et de neutrons : les noyaux stables forment la vallée de stabilité, proche de la droite

N = Z

pour

Z < 20

, puis au-dessus (

N > Z

) pour les noyaux plus lourds. Un noyau situé au-dessus de la vallée (excès de neutrons) est en général émetteur

\beta^-

, un noyau situé en dessous émetteur

\beta^+

, et les noyaux très lourds (

A > 200

) sont souvent émetteurs

\alpha

Erreurs fréquentes

Oublier de conserver Z (ou A) dans l'équation de désintégration.

Confondre la demi-vie t½ et la « durée de vie » (moyenne, τ = 1/λ).

Utiliser λ en an⁻¹ avec un temps en secondes (unités incohérentes).

Croire que la loi N₀/2ⁿ n'est valable que pour un nombre entier de demi-vies : la loi exponentielle vaut pour tout t.

Exemple corrigé

Énoncé

Un échantillon d'iode

^{131}_{53}\text{I}

a une activité initiale

A_0=8{,}0\times 10^{5}\ \text{Bq}

; sa demi-vie est

t_{1/2}=8{,}0\ \text{jours}

. Calculer son activité après

24\ \text{jours}

et la constante radioactive

\lambda

Correction

Nombre de demi-vies.

\dfrac{24}{8{,}0}=3

, donc

A=\dfrac{A_0}{2^{3}}=\dfrac{8{,}0\times 10^{5}}{8}=1{,}0\times 10^{5}\ \text{Bq}

Constante radioactive.

t_{1/2}=8{,}0\ \text{j}=8{,}0\times 86400\ \text{s}=6{,}91\times 10^{5}\ \text{s}

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{6{,}91\times 10^{5}}\approx 1{,}0\times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Un échantillon contient

N_0=6{,}4\times 10^{10}

noyaux radioactifs de demi-vie

t_{1/2}=5{,}0\ \text{min}

. Combien en reste-t-il après

15\ \text{min}

Voir la correction

15\ \text{min}=3\,t_{1/2}

, donc

N=\dfrac{N_0}{2^{3}}=\dfrac{6{,}4\times 10^{10}}{8}=8{,}0\times 10^{9}

noyaux.

Exercice 2

Moyen

La demi-vie du carbone 14 est

t_{1/2}=5730\ \text{ans}

. Calculer sa constante radioactive

\lambda

(en an⁻¹).

Voir la correction

\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4}\ \text{an}^{-1}

Exercice 3

Difficile

Un échantillon de bois ancien présente une activité en

^{14}\text{C}

égale au quart de celle d'un échantillon actuel de même masse. Estimer son âge (

t_{1/2}=5730\ \text{ans}

Voir la correction

\dfrac{A}{A_0}=e^{-\lambda t}=\dfrac{1}{4}

, donc

\lambda t=\ln 4=2\ln 2

, soit

t=\dfrac{2\ln 2}{\lambda}=2\,t_{1/2}=2\times 5730=1{,}1\times 10^{4}\ \text{ans}

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que la demi-vie ?

La durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon se sont désintégrés. Elle est caractéristique du noyau et vaut t½ = ln2/λ.

Qu'est-ce que l'activité d'une source ?

Le nombre de désintégrations par seconde : A = λ·N, en becquerels (Bq). Elle décroît selon la même loi exponentielle que N.

Comment identifier le noyau formé lors d'une désintégration ?

En appliquant les lois de Soddy : la somme des nombres de masse A et la somme des numéros atomiques Z se conservent de part et d'autre de l'équation.