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Mathématiques · Bac SVT · Coefficient 7

Équations différentielles — Cours Maths Bac SVT

Résoudre y′ = ay, y′ = ay + b et les équations du second ordre à coefficients constants, puis déterminer la solution vérifiant des conditions initiales.

Relu par Équipe Orka · 29 août 2026

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Chapitre court et bien balisé : il s'appuie entièrement sur l'exponentielle et les fonctions trigonométriques.

À l'épreuve

Souvent un exercice à part : résoudre l'homogène, trouver une solution particulière (constante pour y′ = ay + b), écrire la solution générale, puis exploiter y(0) et y′(0) ; parfois relié à un modèle (croissance, refroidissement).

Objectifs d'apprentissage

  • Résoudre y′ = ay : y = Ceᵃˣ
  • Résoudre y′ = ay + b : y = Ceᵃˣ − b/a
  • Résoudre y″ + ω²y = 0 : y = A cos(ωx) + B sin(ωx)
  • Résoudre y″ + py′ + qy = 0 via r² + pr + q = 0
  • Déterminer les constantes à partir de conditions initiales

Notions clés

Premier ordre

y′=ayy'=ay : y(x)=Ceaxy(x)=Ce^{ax}. y′=ay+by'=ay+b (a≠0a\neq 0) : solution particulière yp=−bay_p=-\dfrac{b}{a}, d'où y(x)=Ceax−bay(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}.

Oscillateur

y′′+ω2y=0y''+\omega^2 y=0 a pour solutions y(x)=Acos⁡(ωx)+Bsin⁡(ωx)y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x). AA, BB se fixent par y(0)y(0) et y′(0)y'(0).

Équation caractéristique

Pour y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0 : racines réelles r1≠r2r_1\neq r_2 ⇒y=Aer1x+Ber2x\Rightarrow y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x} ; racine double rr ⇒y=(A+Bx)erx\Rightarrow y=(A+Bx)e^{rx} ; complexes α±iβ\alpha\pm i\beta ⇒y=eαx(Acos⁡βx+Bsin⁡βx)\Rightarrow y=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x).

Condition initiale

Une constante (premier ordre) ou deux (second ordre), déterminées par autant de conditions : y(x0)y(x_0), ou y(x0)y(x_0) et y′(x0)y'(x_0).

Erreurs fréquentes

1

Oublier la solution particulière dans y′ = ay + b.

2

Écrire la solution de y″ + ω²y = 0 avec des exponentielles réelles.

3

Se tromper de signe : y′ = −2y donne Ce^(−2x).

4

Fixer la constante avant la solution générale complète.

Exemple corrigé

Énoncé

Résoudre y′−3y=6y'-3y=6 avec y(0)=1y(0)=1.

Correction

Homogène y′=3yy'=3y : yh(x)=Ce3xy_h(x)=Ce^{3x}.
Solution particulière constante ypy_p : −3yp=6-3y_p=6, donc yp=−2y_p=-2.
Solution générale : y(x)=Ce3x−2y(x)=Ce^{3x}-2.
Condition : y(0)=C−2=1y(0)=C-2=1, donc C=3C=3 et y(x)=3e3x−2y(x)=3e^{3x}-2.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile
Résoudre y′=−2yy'=-2y avec y(0)=5y(0)=5.
Voir la correction
Solutions y(x)=Ce−2xy(x)=Ce^{-2x}. y(0)=C=5y(0)=C=5, donc y(x)=5e−2xy(x)=5e^{-2x}.

Exercice 2

Moyen
Résoudre y′′+16y=0y''+16y=0 avec y(0)=2y(0)=2 et y′(0)=4y'(0)=4.
Voir la correction
ω=4\omega=4 : y(x)=Acos⁡(4x)+Bsin⁡(4x)y(x)=A\cos(4x)+B\sin(4x). y(0)=A=2y(0)=A=2. y′(x)=−4Asin⁡(4x)+4Bcos⁡(4x)y'(x)=-4A\sin(4x)+4B\cos(4x), donc y′(0)=4B=4y'(0)=4B=4, soit B=1B=1. y(x)=2cos⁡(4x)+sin⁡(4x)y(x)=2\cos(4x)+\sin(4x).

Exercice 3

Difficile
Résoudre y′′+y′−12y=0y''+y'-12y=0 avec y(0)=0y(0)=0 et y′(0)=7y'(0)=7.
Voir la correction
Équation caractéristique r2+r−12=0r^2+r-12=0, racines r=3r=3 et r=−4r=-4. Solution générale y(x)=Ae3x+Be−4xy(x)=Ae^{3x}+Be^{-4x}. y(0)=A+B=0y(0)=A+B=0 et y′(0)=3A−4B=7y'(0)=3A-4B=7. De B=−AB=-A : 3A+4A=73A+4A=7, A=1A=1, B=−1B=-1. Donc y(x)=e3x−e−4xy(x)=e^{3x}-e^{-4x}.

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Questions fréquentes

Solution générale de y′ = ay + b ?

y(x) = Ceᵃˣ − b/a : solution de l'homogène plus solution particulière constante. C se fixe par une condition initiale.

Comment reconnaître un oscillateur ?

Une équation y″ + ω²y = 0 (ω² > 0). Ses solutions combinent cos(ωx) et sin(ωx), de période 2π/ω.

L'équation caractéristique est-elle au programme SVT ?

Oui, pour y″ + py′ + qy = 0 : on résout r² + pr + q = 0 et on distingue trois cas selon le discriminant.

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