Dénombrement et probabilités — Cours Maths Bac SVT

Dans le programme du Bac SVT

Coefficient 7 en Bac SVT, à égalité avec la SVT : ce sont les deux matières les plus lourdes de la filière. Programme des filières expérimentales en 11 chapitres — analyse, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités — sans arithmétique ni structures algébriques. Le chapitre qui clôt le programme : indépendant de l'analyse, il donne un exercice complet où le dénombrement sert de base au calcul des probabilités — un contexte génétique (croisements) est fréquent.

À l'épreuve

Un exercice type urne ou tirage : dénombrer les issues (combinaisons), calculer des probabilités, utiliser un arbre et la formule des probabilités totales, définir une variable aléatoire X, donner sa loi et son espérance ; parfois une expérience répétée modélisée par une loi binomiale.

Objectifs d'apprentissage

Dénombrer : p-listes nᵖ, arrangements Aₙᵖ, permutations n!, combinaisons Cₙᵖ
Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Utiliser P(A|B), la formule des probabilités totales et celle de Bayes
Définir une variable aléatoire, donner sa loi et calculer E(X)
Reconnaître et exploiter une loi binomiale B(n, p)

Notions clés

Outils de dénombrement

Ordonnés avec remise :

n^{p}

. Ordonnés sans remise :

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Non ordonnés sans remise :

C_n^{p}=\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

. Permutations :

n!

Probabilité conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

A

B

indépendants

\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)

Probabilités totales et Bayes

Système complet

(B_1,\dots,B_n)

P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)

. Bayes :

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

Variable aléatoire et loi binomiale

E(X)=\sum_i x_i P(X=x_i)

. Pour

X\sim\mathcal{B}(n,p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

E(X)=np

Événements indépendants

Deux événements

A

B

sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

; lorsque

P(B) \ne 0

, cela revient à

P_B(A) = P(A)

: savoir que

B

est réalisé ne change pas la probabilité de

A

. Ne pas confondre avec des événements incompatibles (

A \cap B = \emptyset

). Si

A

B

sont deux événements indépendants,

A

\bar B

le sont aussi. Lors d'épreuves successives indépendantes, les probabilités se multiplient. Exemple : on lance un dé ;

A

= « nombre pair » (

P = \dfrac{1}{2}

) et

B

= « nombre inférieur ou égal à 2 » (

P = \dfrac{1}{3}

) ;

A \cap B = \{2\}

a pour probabilité

\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}

: ces deux événements sont indépendants.

Erreurs fréquentes

Utiliser un arrangement là où l'énoncé décrit un tirage simultané (combinaison).

Écrire P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans justifier l'indépendance.

Oublier une branche dans la formule des probabilités totales.

Confondre P(A|B) et P(B|A).

Exemple corrigé

Énoncé

Une urne contient

4

boules rouges et

6

boules vertes. On tire simultanément

3

boules. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une rouge.

Correction

Nombre total de tirages :

\dbinom{10}{3}=120

Événement contraire « aucune rouge » : tirer

3

vertes parmi

6

, soit

\dbinom{6}{3}=20

tirages.

P(\text{aucune rouge})=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}

P(\text{au moins une rouge})=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}

Le cours, puis l'entraînement.

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3 exercices pour t'entraîner

Exercice 1

Facile

Combien d'anagrammes (mots, ayant un sens ou non) peut-on former avec les lettres du mot MAROC ?

Voir la correction

Les

5

lettres sont distinctes : le nombre d'anagrammes est

5!=120

Exercice 2

Moyen

Une maladie touche

2\%

d'une population. Un test est positif chez

95\%

des malades et chez

3\%

des sains. Un individu est testé positif : quelle est la probabilité qu'il soit malade ?

Voir la correction

P(M)=0{,}02

P(T\mid M)=0{,}95

P(T\mid \bar M)=0{,}03

. Probabilités totales :

P(T)=0{,}02\times 0{,}95+0{,}98\times 0{,}03=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484

. Bayes :

P(M\mid T)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}39

Exercice 3

Difficile

On répète

4

fois, de façon indépendante, une épreuve de probabilité de succès

p=\tfrac13

. Soit

X

le nombre de succès. Donner la loi de

X

, calculer

E(X)

P(X\ge 2)

Voir la correction

X\sim\mathcal{B}\!\left(4,\tfrac13\right)

P(X=k)=\dbinom{4}{k}\left(\tfrac13\right)^{k}\left(\tfrac23\right)^{4-k}

E(X)=np=\dfrac{4}{3}

P(X=0)=\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{16}{81}

P(X=1)=4\cdot\tfrac13\cdot\left(\tfrac23\right)^3=\dfrac{32}{81}

, donc

P(X\ge 2)=1-\dfrac{16}{81}-\dfrac{32}{81}=\dfrac{33}{81}=\dfrac{11}{27}

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Questions fréquentes

Arrangement ou combinaison ?

Si l'ordre compte (podium, code, tirages successifs distincts) : arrangement Aₙᵖ. Si l'ordre est indifférent (tirage simultané, sous-ensemble) : combinaison Cₙᵖ.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement A peut se produire via plusieurs cas incompatibles B₁, …, Bₙ recouvrant l'univers : P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ). L'arbre pondéré en est la traduction.

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Une même épreuve à deux issues (succès/échec) répétée n fois de façon indépendante, avec p constant. Le nombre de succès X suit B(n, p), avec E(X) = np.